Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
2 Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym
- 2.1 Teza
- 2.2 Dowód
3 Zobacz też

[edytuj] Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

Niech $(\Omega, \mathcal F, P)$ przestrzenią probablistyczną, zaś $I \subseteq N$ będzie zbiorem wskaźników. Jeżeli zdarzenia $H_i \in \mathcal F,\, i \in I$ są rozbiciem $Ω$ na zdarzenia o dodatnim prawdopodobieństwie, czyli:

$H_i\cap H_j = \varnothing$ dla $i, j \in I, i \neq j$ ,
$\bigcup_{i \in I}\, H_i = \Omega$ ,
$\forall_{i \in I}\, P(H_i)>0$ ,

to dla dowolnego zdarzenia $A \in \mathcal F$ :

$P(A)=\sum_{i \in I} P(A|H_i)P(H_i)$ ,

gdzie symbol $P (A | H i)$ oznacza prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $H i$ .

Zdarzenia $H i$ nazywa się czasem hipotezami.

[edytuj] Dowód

Korzystając z definicji prawdopodobieństwa warunkowego oraz właściwości samego prawdopodobieństwa mamy

$P(A) = P \left( \bigcup_{i \in I} A \cap H_i \right) = \sum_{i \in I} P(A \cap H_i) = \sum_{i \in I}~P(A|H_i)P(H_i)$ .

[edytuj] Zastosowania

Typowym zastosowaniem jest sytuacja w której dane zdarzenie może zajść na kilka sposobów, przy czym każdy sposób realizuje się z określonym prawdopodobieństwem. Twierdzenie - zgodnie ze swą nazwą - pozwala obliczyć całkowite prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia.

[edytuj] Przykład

Żarówki pewnej marki są produkowane w dwu fabrykach X i Y. Żarówki z fabryki X działają dłużej niż 5000 godzin w 99% procentach przypadków, żarówki z fabryki Y tylko w 95% przypadków. Fabryka X dostarcza na rynek 60% zarówek tej marki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zakupiona losowo żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin?

Twierdzenie podaje odpowiedź:

${P(A)=P(A|B_1)}\cdot{P(B_1)}+{P(A|B_2)}\cdot{P(B_2)}={6 \over 10}\cdot{99 \over 100}+{4 \over 10}\cdot{95 \over 100}={{594 + 380} \over 1000}={974 \over 1000}$

gdzie

$P(B_1)={6 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie X;
$P(B_2)={4 \over 10}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia , że kupiona żarówka została wyprodukowana w zakładzie Y;
$P(A|B_1)={99 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu X;
$P(A|B_2)={95 \over 100}$ to prawdopodobieństwo zdarzenia, że żarówka będzie sprawna dłużej niż 5000 godzin pod warunkiem, że pochodzi z zakładu Y.

Losowo zakupiona żarówka będzie działać dłużej niż 5000 godzin w 97,4% przypadków.

[edytuj] Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

Do założeń poprzedniego twierdzenia dodajmy zdarzenie $B \in \mathcal F$ dla którego $P (B) > 0$ . Zachodzi wtedy wzór

$P(A|B)=\sum_{i \in I} P(A|B \cap H_i)P(H_i|B)$ .

[edytuj] Dowód

Można, jak w poprzednim przypadku, przekształcić prawą stronę otrzymując w ten sposób lewą lub też zauważyć, iż $P(\cdot|B)=P_B(\cdot)$ jest prawdopodobieństwem. Jest więc sens mówić o $P B (A | C)$ – prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem zajścia zdarzenia $C$ , gdy wiemy, że zaszło zdarzenie $B$ . Zachodzi równość:

$P_B(A/H)={P_B(A \cap H) \over P_B(H)}={P(A \cap H \cap B)/P(B) \over P(H \cap B)/P(B)}=P(A|H \cap B)$ .

Twierdzenie to jest więc wzorem na prawdopodobieństwo całkowite dla prawdopodobieństwa $P_B(\cdot)$ .

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Rachunek prawdopodobieństwa

Gorące krzesło Urbańskiego

Sławomir Siwek z zarządu TVP ma największe szanse na zastąpienie prezesa telewizji Andrzeja Urbańskiego.

Lech nagradza złego króla

Król Arabii Saudyjskiej Abdullah bin Abdulaziz Al Saud otrzyma przyznawaną po raz pierwszy Nagrodę Lecha Wałęsy. Decyzja kapituły nagrody wywołuje kontrowersje.

SLD pomoże odsunąć PiS od mediów

- Drugiego weta do ustawy medialnej nie poprzemy - mówi „Gazecie” wicemarszałek Sejmu Jerzy Szmajdziński (SLD). - Bo mamy wolę, by jak najszybciej rozbić PiS-owski układ w mediach publicznych

Gej z orędzia chce się spotkać z Lechem Kaczyńskim

Brendan Fay, gej wykorzystany przez prezydenta w marcowym orędziu o ratyfikacji Traktatu Lizbońskiego, ubiega się o wizytę u Lecha Kaczyńskiego - pisze "Newsweek" na stronie internetowej.

''Fakty'' TVN bardziej popularne od ''Wiadomości'' TVP

Udział "Faktów" w grupie 4+ wyniósł w listopadzie br. 30,41 procent, jako jedyne w rankingu zanotowały wzrost udziału w rynku w stosunku do listopada 2007 roku. W tym samym miesiącu "Wiadomości" włączyło 30,17 proc. telewidzów.

Kownacki: Złożono zażalenie ws. nazwania prezydenta chamem

Szef Kancelarii Prezydenta Piotr Kownacki powiedział, że zostało już złożone zażalenie na umorzenie przez prokuraturę śledztwa dotyczącego wypowiedzi posła PO Janusza Palikota, który powiedział, że uważa prezydenta Lecha Kaczyńskiego "za chama".

Bierze stypendium z 14 (!) kierunków studiów

Olsztyńska uczelnia ma w swoich szeregach żaka, który studiuje na... czternastu kierunkach. Luka w prawie sprawia, że na każdym z nich może pobierać stypendium dla osób niepełnosprawnych. Dzięki temu od początku 2008 roku zdążył dostać już ponad 10 tys. zł.

Kraków: Obława na włamywaczy, którzy potrącili policjanta

W Krakowie trwa obława na włamywaczy, którzy uciekając potrącili samochodem policjanta, który doznał niegroźnych obrażeń.

Roman Polański ma szansę na oczyszczenie z zarzutów o gwałt?

Prawnicy Romana Polańskiego zwrócili się do do sądu w Los Angeles o oddalenie zarzutu stosunku seksualnego z 13- letnią dziewczynką. Profesor Piotr Kruszyński uważa, że naruszenie procedur przez amerykańskiego sędziego może być podstawą oczyszczenia Polańskiego z zarzutów sprzed 30 lat. Prawnik podkreśla jednak, że dowiedzenie tego może być trudne.

Burzliwa debata w Sejmie ws. odwołania marszałka Komorowskiego

Brak szacunku do głowy państwa, prorosyjskość, brak poczucia solidarności narodowej, związki z WSI, mentorsko-rezonerska tendencja - to tylko niektóre z cech, jakie Jarosław Kaczyński przypisał Bronisławowi Komorowskiemu przedstawiając w imieniu PiS-u wniosek o jego odwołanie. Komorowski odpowiada, że tego typu "insynuacje to potwarz i podłość". - Czy można mówić tak superpodle? - pytał Komorowski.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zastosowania

[edytuj] Przykład

[edytuj] Twierdzenie o warunkowym prawdopodobieństwie całkowitym

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia