Równanie różniczkowe

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Równanie różniczkowe jest to równanie, które wyznacza zależność między nieznaną funkcją a jej pochodnymi.

Rozwiązanie równania różniczkowego polega na znalezieniu funkcji $y$ , której pochodne spełniają to równanie. Na przykład równanie różniczkowe $y'' + y = 0$ ma ogólne rozwiązanie w postaci $y = A cos x + B sin x$ , gdzie $A$ i $B$ są stałymi wyznaczonymi z warunków brzegowych.

Równania różniczkowe można podzielić na:

równania różniczkowe zwyczajne — w których szukamy funkcji jednej zmiennej
równania różniczkowe cząstkowe — w których szukamy funkcji wielu zmiennych

Żeby rozwiązać równanie różniczkowe należy sprowadzić je do jednej ze standardowych form, a następnie użyć odpowiadającego tej formie przekształcenia.

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x)$

W najprostszym przypadku $y^\prime$ występuje tylko raz, a $y$ i inne pochodne nie występują wcale. Rozwiązać taki problem możemy całkując obie strony równania:

$\int y^\prime(x) \mathrm{d}x = \int p(x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

Nie należy przy tym zapominać o czynniku stałym z prawej strony.

Przykład:

$y^\prime(x) = x^2 + x$

$y(x) = \int (x^2 + x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \frac 1 3 x^3 + \frac 1 2 x^2 + c$

Przykład 2:

$y^\prime(x) + x y^\prime (x) = x^2$

$(1+x) y^\prime(x) = x^2$

$y^\prime(x) = \frac {x^2} {1+x}$ — musimy najpierw sprowadzić do standardowej postaci

$y(x) = \int \frac {x^2} {1+x} \mathrm{d}x$ — i scałkować prawą stronę

$y(x) = \int [(x - 1) + \frac 1 {1+x}] \mathrm{d}x$

$y(x) = \frac {x^2} 2 - x + \ln |1+x| + c$

Równania o zmiennych rozdzielonych

Powyższą metodę można uogólnić na szerszą klasę równań:

$q(y(x))y^\prime(x) = p(x)$

W ich przypadku całkuje się obie strony:

$\int q(y(x)) \mathrm{d}y(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

Po lewej uzyska się jakieś wyrażenie zawierające $y (x)$ , po prawej zaś wyrażenie zawierające tylko samo $x$ . Odpowiednio przekształcając to (już nie różniczkowe) równanie można uzyskać zamkniętą postać $y (x)$ .

Przykład:

$y(x)y^\prime(x) = e^x$

$\int y(x) \mathrm{d}y(x) = \int e^x \mathrm{d}x$

$\frac 1 2 y^2(x) = e^x + c$

$y(x) = \pm \sqrt {2 e^x + 2 c}$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x)$

Czyli tzw. liniowe równania różniczkowe jednorodne.

Rozwiązaniem takiego równania jest (w tym $c = 0$ ):

$y(x) = c \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

Żeby to udowodnić podstawmy $y (x)$ do równania różniczkowego:

$\left(c \exp \int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) c \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$ — możemy z obu stron pozbyć się stałej

c

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) \left(\int p(x) \mathrm{d}x\right)^\prime = p(x) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$ — ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

$\left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) p(x) = \left(\exp \int p(x) \mathrm{d}x\right) p(x)$ — a pochodna całki po funkcji jest równa danej funkcji

Przykład:

$y^\prime(x) = x^2y$

$y(x) = c \exp \int x^2 \mathrm{d}x$

$y(x) = c \exp \frac 1 3 x^3$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x) + q(x)$

Czyli tzw. liniowe równania różniczkowe niejednorodne.

Rozwiązaniem takich równań jest:

$y(x) = \left(c + \int q(x) \exp \left (- \int p(x) \mathrm{d}x \right) \mathrm{d}x \right) \exp \int p(x) \mathrm{d}x$

Co możemy przedstawić prościej jako:

$P(x) = \int p(x) \mathrm{d}x$

$y(x) = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)}$

Przykład:

$y^\prime(x) = \frac y x + \sin x$

$P(x) = \int \frac 1 x \mathrm{d}x$

P (x) = ln x + c

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) e^{-\ln x} \mathrm{d}x \right) e^{\ln x}$

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) e^{\ln \frac 1 x} \mathrm{d}x \right) x$

$y(x) = \left(c + \int \sin (x) \frac 1 x \mathrm{d}x \right) x$

$y(x) = \left(c + \int \frac {\sin x} x \mathrm{d}x \right) x$ — gdzie $\int \frac {\sin x} x \mathrm{d}x$ nie da się przedstawić w prostszej postaci.

Dowód: Podstawmy rozwiązanie do równania różniczkowego:

$\left(\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)}\right)^\prime = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) (e^{P(x)})^\prime + \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right)^\prime e^{P(x)} = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} P^\prime(x) + q(x) e^{-P(x)} e^{P(x)} = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

$\left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x) = \left(c + \int q(x) e^{-P(x)} \mathrm{d}x \right) e^{P(x)} p(x) + q(x)$

Co też należało pokazać.

Równania Bernoulliego

Równania Bernoulliego to równania postaci:

$y^\prime(x) = p(x)y(x) + q(x)(y(x))^\alpha$ , dla dowolnej liczby rzeczywistej

α

(oprócz trywialnych przypadków 0 i 1, które redukują się bez podstawiania do równań liniowych)

Rozwiązujemy je sprowadzając je do równań liniowych przez podstawienie:

v (x) = (y (x)) 1 - α

Wtedy możemy rozwiązać równanie liniowe z $v (x)$ :

$v^\prime(x) = (1-\alpha)p(x)v(x) + (1-\alpha)q(x)$

A następnie wyprowadzamy $y (x)$ z $v (x)$ .

Podstawienie to jest poprawne, ponieważ:

$((y(x))^{1-\alpha})^\prime = (1-\alpha)p(x)(y(x))^{1-\alpha} + (1-\alpha)q(x)$

$(1-\alpha)(y(x))^{-\alpha} y^\prime(x) = (1-\alpha)p(x)(y(x))^{1-\alpha} + (1-\alpha)q(x)$

$(y(x))^{-\alpha} y^\prime(x) = p(x)(y(x))^{1-\alpha} + q(x)$

$y^\prime(x) = p(x)y(x) + q(x)(y(x))^\alpha$

Przykład:

$y^\prime(x) = y(x) \sin x + (y(x))^3 \cos x$

v (x) = (y (x)) - 2

$v^\prime(x) = -2 v(x) \sin x - 2 \cos x$ — co już potrafimy rozwiązać

Równania postaci $y^\prime(x) = p\left(\frac {y(x)} x\right) + q(x)$

Równania takie rozwiązuje się podstawiając $v(x) = \frac {y(x)} x$ .

y (x) = x v (x)

$\frac {\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = v(x) + x \frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}$

Czyli po podstawieniu otrzymujemy:

$x v^\prime(x) + v(x) = p(v(x)) + q(x)$

$x v^\prime(x) = p(v(x)) - v(x) + q(x)$

Co powinno być znacznie łatwiejsze do rozwiązania.

Przykład:

$y^\prime(x) = \operatorname{tg} \left( \frac {y(x)} x \right) + \frac {y(x)} x$

$x v^\prime(x) + v(x) = \operatorname{tg} \left( v(x) \right) + v(x)$

$x v^\prime(x) = \operatorname{tg} \left( v(x) \right)$

$\frac {v^\prime(x)} {\operatorname{tg} \left( v(x) \right)} = \frac 1 x$

$\int \frac 1 {\operatorname{tg} \left( v(x) \right)} \mathrm{d}v(x) = \int \frac 1 x \mathrm{d}x$

$\ln \left ( \sin v(x) \right ) = \ln x + c$

$\sin \left( v(x) \right ) = e^{\ln x + c}$

$\sin \left( v(x) \right ) = x e^c$

$v(x) = \arcsin \left ( x e^c \right )$ – możemy uprościć postać czynnika stałego

$v(x) = \arcsin \left ( c_1x \right )$

$y(x) = x \arcsin \left ( c_1x \right )$

Czynnik stały

Często w trakcie rozwiązywania równania pojawia się czynnik stały, a potem wyrażenia z tym czynnikiem coraz bardziej się komplikują. Możemy chcieć je uprościć, wprowadzając na miejsce czynnika stałego jakiś inny, np.:

$x + \frac 12 5 c = x + c_1$

$\frac x {2c} = c_1 x$

Wolno nam też robić rzeczy, których w innych sytuacjach nie powinniśmy, np.:

e x + c = e c e x = c 1 e x

Na pierwszy rzut oka nie wygląda to na poprawne przekształcenie – co jeśli ktoś przyjmie za $c 1$ liczbę ujemną ? Równania różniczkowe jednak, nawet jeśli interesują nas tylko wyniki rzeczywiste, robimy tak naprawdę na liczbach zespolonych – dla rzeczywistych $c$ , $e c$ generuje nam wszystkie liczby dodatnie, $e c + i π$ zaś wygeneruje nam zaś wszystkie liczby ujemne (a inne $e c + i x$ dadzą nam wyniki zespolone, których być może nie chcemy).

[edytuj] Zobacz też

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Równania różniczkowe

Zobacz publikację na Wikibooks:
Układy równań różniczkowych

Kategoria: Równania różniczkowe

Sikorski: Czekamy na decyzję w sprawie tarczy

Minister spraw zagranicznych Radosław Sikorski zakończył w piątek wizytę w stolicy USA, celem której było wysondowanie poglądów polityków Partii Demokratycznej w sprawie tarczy antyrakietowej i w innych kwestiach dotyczących stosunków polsko-amerykańskich.

Po obfitych opadach śniegu tiry zablokowały drogę

Obfite opady śniegu spowodowały, że w piątek wieczorem na świętokrzyskich drogach panują trudne warunki. Tiry zablokowały trasę krajową 42 Namysłów-Rudnik w okolicy Wąchocka. Od popołudnia w wypadkach zginęło pięć osób - poinformowała policja.

Senyszyn: Sejm nie jest wolny od picia, dziś trafiło na Kruk

- Ze statystyki wynika, że 83 posłów nadużywa alkoholu, a 14 to alkoholicy. W rzeczywistości liczby te mogą być większe - pisze na swoim blogu posłanka Joanna Senyszyn. Podkreśla, że Sejm jako emanacja społeczeństwa, które reprezentuje, "nie jest wolny od plagi picia".

PO w ośrodku SPA podsumowuje rok pracy rządu

Z ponad dwugodzinnym opóźnieniem rozpoczęło się w piątek w miejscowości Ossa k. Rawy Mazowieckiej dwudniowe wyjazdowe posiedzenie klubu parlamentarnego Platformy Obywatelskiej. Zjazd odbywa się w czterogwiazdkowym hotelu Ossa Congress and SPA z ofertą odnowy biologicznej. Klub podsumuje rok działania rządu i koalicji PO- PSL. Na posiedzenie przybył premier Donald Tusk i ministrowie.

Cenne mapy i listy Mickiewicza trafią do Polski

Kolekcjoner Tomasz Niewodniczański powiedział w piątek, że zamierza wkrótce przekazać polską część swoich zbiorów kartograficznych i archiwalnych Zamkowi Królewskiemu w Warszawie.

Ruszył proces prześladowcy młodej dentystki

Proces bezrobotnego Sebastiana W., który przez ponad rok miał nękać dwudziestokilkuletnią dentystkę, a także jej ojca i znajomego rozpoczął się dziś przed warszawskim sądem rejonowym. Oskarżony swe działania tłumaczył przed sądem "zakochaniem", nie przyznał się do przestępstw.

Zarzuty dla dwóch pracowników prezydenta Karnowskiego

Prokuratura postawiła zarzuty sekretarzowi miasta oraz kierowcy prezydenta Sopotu, Jacka Karnowskiego. Obaj mieli brać udział w ustawieniu przetargu na auto dla prezydenta.

Warszawa się wali: most z dziurą na wylot

Od piątku nie można jeździć przez mostek na Kanale Żerańskim w Kobiałce - oberwał się z niego kawałek jezdni. Pogotowie drogowe w ostatniej chwili zawróciło dwie betoniarki zmierzające nim na pobliską budowę. Zarząd Transportu Miejskiego musiał wycofać autobusy

Pogoda na weekend: będzie zimno i spadnie śnieg

Przed intensywnymi opadami śniegu oraz oblodzeniem na drogach ostrzega Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej (IMGW). Utrudnienia komunikacyjne mogą wystąpić już w piątek po południu.

28 osób oskarżonych o fałszowanie list poparcia przed wyborami

28 osób z Rybnika i okolic zostało oskarżonych o złamanie prawa przy zbieraniu i sporządzaniu list poparcia dla kandydatów na posłów w wyborach do Sejmu w 2005 roku.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Równanie różniczkowe

Z Wikipedii

Spis treści

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x)$

Równania o zmiennych rozdzielonych

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x)$

Równania postaci $y^\prime(x) = p(x) y(x) + q(x)$

Równania Bernoulliego

Równania postaci $y^\prime(x) = p\left(\frac {y(x)} x\right) + q(x)$

Czynnik stały

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach