Pole powierzchni

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Pole powierzchni (potocznie po prostu powierzchnia figury lub pole figury) - miara, przyporządkowująca danej figurze nieujemną liczbę w pewnym sensie charakteryzującą jej rozmiar.

Ścisła definicja wymaga wykonania pewnej konstrukcji.

Spis treści

1 Konstrukcja pojęcia pola
- 1.1 I Definicja
- 1.2 Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur
2 Definicja szkolna
3 Pole pod krzywą
4 Pola typowych figur
5 Zobacz też

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

[edytuj] I Definicja

Zobacz więcej w osobnych artykułach: Miara Jordana, Miara Lebesgue'a, Wymiar pudełkowy.

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: definicja poniżej daje tylko zewnętrzną miarę Jordana; granica ta zawsze istnieje i nie w tym problem - problem w tym aby była równa mierze wewnętrznej

Najczęściej spotykana definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach $a 1$ .
Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez $n 1$ .

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach $a_1>a_2>a_3>\ldots$ , itd. uzyskujemy ciąg liczb $n 1, n 2,...$ .
Polem powierzchni nazywamy granicę:

$S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2$

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.

[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

Zbiory

$\{(x,y):0<x<1,\ 0<y<1,\ x,y$ są wymierne

}

oraz

$\{(x,y): 0<x<1,\ 0<y<1,\ x$ jest niewymierny lub y jest niewymierny

}

są rozłączne i oba mają zewnętrzną miarę Jordana równą 1. Suma tych dwóch figur (czyli wnętrze kwadratu) ma pole równe 1, skąd możemy wnioskować że pola naszych figur nie można zdefiniować używając podejścia Jordana.

Istnienie nietrywialnej funkcji, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dowolnego ciągu przeliczalnego rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie jest niedowodliwe w standardowym systemie aksjomatów ZFC.
Zbiór Vitalego i zbiór Bernsteina (istniejące przy założeniu aksjomatu wyboru) są niemierzalne w sensie Lebesgue'a.
Prz założeniu aksjomatu wyboru istnieje skończenie addytywna miara mierząca wszystkie podzbiory przestrzeni.
Przy założeniu AD, wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowych są mierzalne w sensie Lebesgue'a. * Jeśli istnieje liczba mierzalna, to jestr niesprzeczne że continuum jest rzeczywiście mierzalne i że istnieje miara na płaszczyźnie mierząca wszystkie jej podzbiory.

[edytuj] Definicja szkolna

Definicja używana w gimnazjach i szkołach średnich.

Obieramy kwadrat o boku 1.
Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Definicja ta tak naprawdę podaje tylko dolne oszacowanie pola powierzchni danej figury, którego dokładność zależy od kształtu figury.

[edytuj] Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b, a≤b jest równe całce oznaczonej

$S=\int\limits_{a}^{b}|f(x)|dx$

[edytuj] Pola typowych figur

Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi:
- Prostokąt o bokach a i b: $S=ab\,$
- Kwadrat o boku a: $S=a^2\,$
pole obszaru ograniczonego przez elipsę o półosiach a i b: $S=\pi ab\,$
Koło o promieniu r: $S=\pi r^2\,$
Wielokąt foremny (r – promień okręgu wpisanego w wielokąt, R – promień okręgu opisanego, a – bok wielokąta):

$S=\frac{nar}{2}=nr^2\,\operatorname{tg}\frac{\pi}{n}=\frac{n}{2}R^2\sin\frac{2\pi}{n}=\frac{n}{4}a^2\,\operatorname{ctg}\frac{\pi}{n}$

Trójkąt równoboczny:

$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Geometria

Ukryta kategoria: Strony do weryfikacji

"Żeby móc tak mówić, trzeba być nieskazitelnym bohaterem"

- Żeby używać takich słów, trzeba mieć autorytet, który mają postacie pomnikowe. Trzeba być nieskazitelnym bohaterem - tak Radosław Sikorski skomentował wypowiedź prezesa PiS. Jarosław Kaczyński stwierdził dziś, że "13-letnie dziewczynki wytrzymywały tortury gestapo, a Niesiołowski sypał".

Lech Wałęsa o UE: Ja, rewolucjonista trochę tu porozrabiam

W Brukseli odbyło się dziś pierwsze spotkanie grupy refleksji w sprawie przyszłości Unii Europejskiej. Uczestniczący w nim Lech Wałęsa zapowiedział, że jako "stary rewolucjonista" będzie zadawał prowokacyjne pytania i "jeśli go nie wyrzucą, to trochę porozrabia".

Dalajlama: Uczę się polskiej determinacji i siły woli

Określenie "Polska" towarzyszy mi od dzieciństwa; kiedy tylko tu jestem uczę się polskiej determinacji i siły woli - mówił w wywiadzie dla radiowej "Jedynki" Dalajlama XIV. Jutro duchowy przywódca Tybetańczyków przyjeżdża do Polski.

Bondaryk: Otrzymałem od PTC ok. 450 tys. zł

Szef Agencji Bezpieczeństwa Wewnętrznego Krzysztof Bondaryk wydał w czwartek oświadczenie. Poinformował w nim, że wysokość uzyskanych przez niego świadczeń od spółki PTC z tytułu zakazu konkurencji, nagrody rocznej i ekwiwalentu za urlop wyniosła ok. 450 tys. zł.

Klich: Jutro decyzja w sprawie unikających poboru

- Jutro będzie wydana odpowiednia decyzja, która rozwiąże ten problem - odpowiedział minister obrony Bogdan Klich na pytanie co, w związku z zakończeniem poboru do wojska stanie się z osobami unikającymi służby wojskowej.

6-latki do szkoły. PiS jest przeciw

Klub PiS złożył w Sejmie wniosek o odrzucenie w pierwszym czytaniu rządowego projektu nowelizacji ustawy o systemie oświaty, zakładającego m.in. obniżenie wieku obowiązku szkolnego z 7 do 6 lat. - Rząd forsuje reformę edukacji wbrew większości środowisk i wbrew woli wielu rodziców - powiedziała Marzena Machałek z PiS.

Radni PO chcą zmienić nazwę pl. Defilad

Skansen PRL-u w centrum Warszawy ma szansę zmienić nazwę na bardziej romantyczną. Radni Platformy Obywatelskiej chcą przemianować pl. Defilad na pl. Fryderyka Chopina. Klub PiS jest tym pomysłem zachwycony.

Zuchwały napad na bank

Dwóch mężczyzn w kominiarkach w środku dnia sterroryzowało kasjerkę banku i uciekło z pieniędzmi.

Zwłoki torturowanego mężczyzny na śmietniku

Na jednym z osiedli w Żaganiu (Lubuskie) znaleziono w czwartek okaleczone zwłoki mężczyzny. Wstępne oględziny wykazały, że 29-latek, zanim został zamordowany, był torturowany - poinformował rzecznik Prokuratury Okręgowej w Zielonej Górze, Kazimierz Rubaszewski.

”Spóźniłem się na przesłuchanie, bo okradałem sklep”

Wyjątkowo szczery był 32 letni mężczyzna, który usprawiedliwił swoje spóźnienie na przesłuchanie tym, że po drodze okradł sklep. Ukradzione właśnie ubrania miał jego kolega siedzący w poczekalni. Na dokładkę 32 latek był pod wpływem narkotyków i miał przy sobie heroinę.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Pole powierzchni

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Konstrukcja pojęcia pola

[edytuj] I Definicja

[edytuj] Problem wyznaczania pól dla wszystkich figur

[edytuj] Definicja szkolna

[edytuj] Pole pod krzywą

[edytuj] Pola typowych figur

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach