Logika matematyczna

Z Wikipedii

Logika matematyczna – dział matematyki, który wyodrębnił się jako samodzielna dziedzina na przełomie XIX i XX wieku, wraz z dążeniem do dogłębnego zbadania podstaw matematyki. Koncentruje się on na analizowaniu zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem sformalizowanych oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki.

W początkowym okresie rozwoju tego działu używano też nazwy logika symboliczna (w celu odróżnienia od logiki filozoficznej). Nazwa logika matematyczna została użyta po raz pierwszy przez włoskiego matematyka Giuseppe Peano.

Spis treści 1 Rys historyczny 2 Współczesne badania 3 Polscy matematycy 4 Bibliografia 5 Zobacz też 6 Linki zewnętrzne

[edytuj] Rys historyczny

Korzenie logiki matematycznej tkwią w badaniach Gottfrieda Leibniza, ale jej burzliwy rozwój zaczął się w pierwszej połowie XIX wieku w wyniku prac George'a Boole'a i Augusta De Morgana nad algebraizacją logiki. Niektóre z ważniejszych wydarzeń w historii logiki matematycznej:

• 1879: Gottlob Frege rozwija formalny rachunek logiczny bliski dzisiejszej logice drugiego rzędu.^[1]
• Lata 70. XIX wieku: niemiecki matematyk Georg Cantor rozwija podstawy współczesnej teorii mnogości .
• 1892-1908: Peano publikuje wielotomowy formalny wykład matematyki Formulario mathematico. Część dotycząca logiki matematycznej miała duży wpływ na późniejsze prace.
• 1899: David Hilbert podaje pierwsze, formalnie poprawne, aksjomatyczne ujęcie geometrii klasycznej, właściwie ją formalizując i podając 21 aksjomatów^[2].
• 1908: Ernst Zermelo przedstawia pierwszą próbę aksjomatyzacji teorii mnogości.^[3] Lista aksjomatów zaproponowana przez Zermelo została niezależnie poprawiona przez Thoralfa Skolema i Adolfa Fraenkela około roku 1922. Dzisiaj aksjomaty te, znane jako aksjomaty Zermelo-Fraenkela, są powszechnie akceptowaną podstawą teorii mnogości i całej matematyki.
• 1910-1913: Bertrand Russell i Alfred North Whitehead pracują nad formalizacją matematyki i logiki zawierając swoje wyniki w trzytomowej monografii Principia Mathematica.
• 1929: austriacki matematyk Kurt Gödel dowodzi w swojej rozprawie doktorskiej, że każda niesprzeczna teoria pierwszego rzędu ma model (twierdzenie Gödla o zupełności)^[4].
• 1931: Gödel publikuje sławne dwa twierdzenia o niezupełności^[5].
• 1933: Alfred Tarski publikuje sławną pracę o niedefiniowalności pojęcia prawdy^[6].
• 1936: Alan Turing wprowadza pojęcie maszyny Turinga zaczynając systematyczne badania funkcji obliczalnych i wykazując nierozstrzygalność problemu stopu.
• 1963/64: Paul Cohen wprowadza metodę forsingu^[7][8][9].

[edytuj] Współczesne badania

Zgodnie z klasyfikacją badań naukowych w matematyce prowadzoną przez Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, aktualne badania w logice matematycznej (oznaczonej kodem 03-xx Mathematical logic and foundations) są podzielona na osiem działów. Wśród nich znajdują się:

• 03Bxx Logika ogólna
• 03Cxx Teoria modeli
• 03Dxx Teoria rekursji
• 03Exx Teoria mnogości
• 03Fxx Teoria dowodu
• 03Gxx Logika algebraiczna
• 03Hxx Teoria modeli niestandardowych

Jednym z podstawowych źródeł o stanie badań we współczesnej logice matematycznej jest Handbook of mathematical logic^[10]. Zgodnie z tym źródłem (i jego podziałem na 4 części), można uznać, że teoria dowodu, teoria modeli, teoria rekursji i teoria mnogości są czwórką na którą składają się fundamenty matematyki.

[edytuj] Polscy matematycy

Logika matematyczna jest jedną z tych dziedzin matematyki, w których wkład polskich matematyków był i jest bardzo istotny. Matematycy związani zarówno z warszawską szkołą matematyczną jak i z lwowską szkołą matematyczną byli zainteresowani problemami w szeroko rozumianej logice matematycznej, choć często zainteresowania te były motywowane ich pracami w topologii czy też analizie funkcjonalnej. Między innymi dlatego pierwsze wyspecjalizowane czasopismo matematyczne na świecie, założone w Polsce Fundamenta Mathematicae, było poświęcone właśnie podstawom matematyki, logice matematycznej i związanym z nimi dziedzinom: topologii, teorii funkcji rzeczywistych i teorii miary.

Tradycje te są kontynuowane współcześnie przez wielu polskich matematyków pracujących w kraju jak i poza jego granicami. Wśród polskich matematyków powszechnie uznanych za wybitnych, ważny wkład w rozwój logiki matematycznej mieli:

• Stefan Banach (1892-1945),
• Zygmunt Janiszewski (1888-1920),
• Bronisław Knaster (1893-1980),
• Kazimierz Kuratowski (1896-1980),
• Stanisław Leśniewski (1886-1939),
• Jan Łukasiewicz (1878-1956),
• Jerzy Łoś (1920-1998),
• Edward Marczewski (1907-1976),
• Stanisław Mazur (1905-1981),
• Andrzej Mostowski (1913-1975),
• Otto M. Nikodym (1887-1974),
• Helena Rasiowa (1917-1994),
• Wacław Sierpiński (1882-1969),
• Roman Sikorski (1920-1983),
• Alfred Tarski (1901-1983),
• Stanisław Ulam (1909-1984).

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Frege, Gottlob: Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879.
2. ↑ Hilbert, David: Grundlagen der Geometrie, 1899.
3. ↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. "Math. Ann." 65 (1908), s. 261-281.
4. ↑ Gödel, Kurt: Über die Vollständigkeit des Logikkalküls. Rozprawa doktorska napisana pod kierunkiem Hansa Hahna. Uniwersytet Wiedeński, 1929.
5. ↑ Gödel, Kurt: Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I. "Monatshefte für Mathematik und Physik" 38 (1931), s. 173-98
6. ↑ Tarski, Alfred: Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, "Travaux de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie", Classe III, no 34 (1933).
7. ↑ Cohen, Paul: The independence of the continuum hypothesis. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 50 (1963), s. 1143-1148.
8. ↑ Cohen, Paul J.: The independence of the continuum hypothesis. II. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 51 (1964), s. 105-110.
9. ↑ Cohen, Paul J.: Set theory and the continuum hypothesis. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1966.
10. ↑ Handbook of mathematical logic. Edytowane przez Jona Barwise'a we współpracy z H. J. Keislerem, K. Kunenem, Y. N. Moschovakisem and A. S. Troelstrą. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", tom 90. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York-Oxford, 1977. ISBN 0-7204-2285-X

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• logika

[edytuj] Linki zewnętrzne

• Logika dla informatyków (materiały dydaktyczne MIMUW na studia informatyczne II stopnia)
• Logika dla informatyków (skrypt prof. Leszka Pacholskiego z UWr)

PiS-Dyrektor Łazienek jest związany z Palikotem

Posłowie PiS kwestionują kompetencje Jacka Czeczota-Gawraka jako nowego dyrektora warszawskich Łazienek. Zdaniem posła Pawła Poncyljusza, nowy dyrektor jest postacią "zagadkową" jeśli chodzi o kwalifikacje, a także postacią "ciekawą", ponieważ był w przeszłości związany interesami z posłem PO Januszem Palikotem.

Chlebowski: potrzebny projekt dot. okresu przejściowego dla nauczycieli

Uzgodniliśmy, że potrzebny jest projekt dotyczący jakiegoś okresu przejściowego dla nauczycieli, ale nie ma mowy, żeby były to emerytury pomostowe - powiedział szef klubu PO Zbigniew Chlebowski po spotkaniu PO i PSL z ministrami: pracy i edukacji.

Prezydent: referendum ws. wprowadzenia euro jest oczywistością

Prezydent Lech Kaczyński powtórzył w środę, że sprawa wprowadzenia w Polsce euro powinna być przedmiotem referendum.

Oddali do hotelu pięć psów. Odebrali... cztery

Pewna para oddała do hotelu dla zwierząt w podbydgoskim Brzeźnie pięć psów ze swojej hodowli. Gdy się zgłosiła po odbiór, dostała cztery. Szefowa pensjonatu twierdzi, że o piątym - gryfoniku belgijskim o imieniu Goliat - nic nie wie! Właściciele psa chcą walczyć o odszkodowanie

Podał się za dowódcę GROMU i zażądał dwóch radiowozów

W ten sposób próbował zażartować sobie z policjantów z Rawy Mazowieckiej pijany 24-latek. Mężczyzna odpowie za wykroczenie. Grozi mu kara aresztu, ograniczenia wolności lub grzywny.

Prezydent chce się spotkać z Fedak w sprawie "pomostówek"

Prezydent Lech Kaczyński oświadczył, że chce się spotkać z minister pracy Jolantą Fedak, by porozmawiać o emeryturach pomostowych.

Dziecko podejrzane o kradzież przez... czapkę

8-latka podejrzewano o to, że ukradł zabawkę w hipermarkecie. Miał taką samą czapkę jak chłopiec, którego kilka dni wcześniej przy kradzieży zarejestrowały kamery monitoringu. Bogu ducha winne dziecko zatrzymała ochrona i zaczęła przesłuchiwać. Rodzice o sprawie dowiedzieli się przypadkiem, kiedy zaczęli szukać dziecka, bo nie wracało do domu.

Nie ma zgody PO na "pomostówki" dla nauczycieli

Nie ma i nie będzie akceptacji Platformy Obywatelskiej na jakąkolwiek ustawę o emeryturach pomostowych dla nauczycieli - oświadczył w środę szef klubu PO Zbigniew Chlebowski. Donald Tusk określił natomiast wczorajszą propozycję minister pracy jako nieporozumienie.

Andrzej K. i 6 innych osób podejrzanych o niegospodarność i pranie brudnych pieniędzy

Prezes rady fundacji Jolanty Kwaśniewskiej "Porozumienie bez Barier" Andrzej K. i sześć innych osób jest podejrzanych o niegospodarność i pranie brudnych pieniędzy.

Chorzów: Bomba w szpitalu? Trwa ewakuacja

Trwa ewakuacja pacjentów Szpitala im. Rostka w Chorzowie. W środę przed południem strażacy odebrali informację o podłożeniu bomby w placówce.