Funkcje cyklometryczne

Z Wikipedii

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi. Należy w nim poprawić: poprawić latex, sprawdzić linki do obcojęzycznych wikipedii. Po wyeliminowaniu wskazanych powyżej niedoskonałości prosimy usunąć szablon {{Dopracować}} z kodu tego artykułu.

Funkcje cyklometryczne (funkcje kołowe) – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale . W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału przez funkcję sin).
• arcus cosinus jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale [0,π]. W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale [-1, 1] (czyli obrazie przedziału [0,π] przez funkcję cos).
• arcus tangens jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale (-π/2, π/2). W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową) – wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (-π/2, π/2) przez funkcję tg).
• arcus cotangens jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale (0, π). W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale (-∞, +∞) (czyli obrazie przedziału (0, π) przez funkcję ctg).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• arcsin x = y gdy sin y = x
• arccos x = y gdy cos y = x
• arctg x = y gdy tg y = x
• arcctg x = y gdy ctg y = x

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów nie stawiamy, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [-π/2, π/2]
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest [-1, 1], a przeciwdziedziną [0, π]
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (-π/2, π/2)
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest (-∞, +∞), a przeciwdziedziną (0, π)

Funkcje arcus sinus i arcus cosinus są związane zależnością , a arcus tangens i arcus cotangens zależnością .

Przykłady:

• arcsin 0 = 0
• arcsin 0,5 = π/6
• arcsin 1 = π/2.
• arccos 0 = π/2
• arccos 0,5 = π/3
• arccos (-1) = π
• arctg 0 = 0
• arctg 1 = π/4.
• arcctg 0 = π/2
• arcctg 1 = π/4.

Oto wykresy funkcji y = arcsin x, y = sin x oraz prosta y = x. Wykresy obu funkcji są symetryczne względem tej prostej.

Analogicznie, wykresy funkcji y = arccos x, y = cos x są symetryczne względem prostej y = x.

Wykresy funkcji y = arctg x, y = tg x są symetryczne względem prostej y = x.

Wykresy funkcji y = arcctg x, y = ctg x są symetryczne względem prostej y = x.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Prezydium Episkopatu w obronie abp. Kowalczyka

Polski Episkopat broni nuncjusza papieskiego, któremu niektóre media i ksiądz Isakowicz Zaleski zarzucają kontakty z komunistyczną Służbą Bezpieczeństwa. Kościelna komisja historyczna ustaliła niedawno, że abp Kowalczyk był zarejestrowany bez swojej wiedzy jako kontakt informacyjny.

Bombowy proces Dody

- To nie jest cyrk, to nie są jaja - powiedziała Dorota "Doda" Rabczewska po tym jak pojawiła się w warszawskim sądzie na rozprawie o naruszenie czci. Po czym ostentacyjnie zaczęła jeść żelki i częstować nimi swojego adwokata.

72-latek zasłabł za kierownicą. Dziewięciu rannych

72-letni kierowca fiata punto wjechał w przystanek autobusowy w Ostrowie Wielkopolskim. 9 osób zostało rannych. Dwie są w stanie ciężkim

Warszawa: Instytut Psychiatrii i Neurologii nadal nie przyjmuje pacjentów

Warszawski Instytut Psychiatrii i Neurologii z powodu protestu pielęgniarek drugi dzień nie przyjmuje pacjentów. Dotychczasowe rozmowy dyrekcji z protestującymi nie przyniosły efektu.

Kryzys zaszkodzi Wielkiej Orkiestrze?

Kryzys gospodarczy daje się we znaki wszystkim. Niewykluczone, że w tym roku dotknie także Wielką Orkiestrę Świątecznej Pomocy. Od kilku tygodni mówi się, że Fundacja Jurka Owsiaka ma problem ze znalezieniem sponsorów na najbliższy, niedzielny finał.

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.