Funkcja odwrotna

Z Wikipedii

Funkcja odwrotna – funkcja przyporządkowująca wynikowi jakiejś funkcji jej argument, czyli działająca odwrotnie do niej.

Spis treści

1 Uwaga
2 Definicja
3 Istnienie
4 Wyznaczanie
5 Przykłady
6 Własności
7 Przypisy
8 Zobacz też

[edytuj] Uwaga

W matematyce istnieją dwie konwencje^{[potrzebne źródło]} rozumienia czym jest zbiór $Y$ przy zapisie $f\colon X\to Y$ - pierwsza z nich zakłada, że w domyśle, zbiór wartości funkcji $f$ zawarty jest w zbiorze $Y$ , druga z nich zakłada, że to właśnie $Y$ jest całym zbiorem wartości^[1]. W praktyce matematycznej, pierwsza konwencja jest popularniejsza, jednak definiując funkcję odwrtotną będziemy zakładać, że $Y$ jest całym zbiorem wartości funkcji $f$ (tzn., że $f$ jest na zbiór $Y$ ).

[edytuj] Definicja

Funkcję $f\colon X\to Y$ (por. uwaga) nazywamy odwracalną, gdy istnieje taka funkcja $g\colon Y\to X$ taka, że

$g(f(x))=x\;$ dla każdego $x\in X\;$

$f(g(y))=y\;$ dla każdego $y\in Y\;$ .

Innymi słowy $g$ jest taką funkcją, że złożenia $g\circ f$ oraz $f\circ g$ są identycznościami, odpowiednio, na zbiorze $X$ i $Y$ . Funkcję $g$ nazywamy funkcją odwrotną do $f$ i oznaczamy symbolem $f - 1$ .

Bezpośrednio z definicji wynika, że jeśli $f$ jest funkcją odwracalną to jest różnowartościowa dlatego oraz ze względu na uwagę powyżej, funkcję odwracalną definiuje się jako funkcję różnowartościową i "na". Wówczas oczywiście każda funkcja różnowartościowa jest jest odwracalna jeśli myślimy o jej obrazie jako przeciwdziedzinie.

Jeżeli f odwzorowuje X na Y, to f^-1 odwzorowuje Y na X.

Oznaczenia $f - 1 (x)$ nie należy mylić z symbolem $(f(x))^{-1}=\tfrac{1}{f(x)}$ .

[edytuj] Istnienie

Nie każda funkcja ma do niej odwrotną. Istnieje jednak twierdzenie ułatwiające sprawdzenie, czy dana funkcja jest odwracalna:

Twierdzenie: Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją wzajemnie jednoznaczną (bijekcją), tzn. jest różnowartościowa i „na”.

Poniższe twierdzenie ma raczej znaczenie teoretyczne, jednak stanowi podpowiedź, w jaki sposób należy szukać funkcji odwrotnej:

Twierdzenie: Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej relacja odwrotna jest funkcją nazywaną wówczas funkcją odwrotną; relacja odwrotna, to relacja otrzymana przez zamienienie miejscami jej argumentów.

[edytuj] Wyznaczanie

Wyznaczenie funkcji odwrotnej $g$ do danej $f$ polega na rozwiązaniu równania

$y = f(x)\;$

względem niewiadomej $x$ . Rozwiązanie, czyli

$x = g(y)\;$ ,

to poszukiwana funkcja odwrotna.

[edytuj] Przykłady

Funkcja f ma odwrotną f^-1; ponieważ f odwzorowuje a na 3, to f^-1 przekształca 3 w a.

Przypisanie numeru PESEL każdemu (żyjącemu) Polakowi można odwrócić w naturalny sposób: znajdując Polaka według numeru PESEL.
Funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
Funkcją odwrotną do funkcji liczbowej danej wzorem $y (x) = 3 x$ jest funkcja $x(y) = \tfrac{y}{3}$ .
Funkcja $f (n) = n 2$ nie jest odwracalna jako funkcja określona na zbiorze liczb całkowitych - chociażby dlatego, że $f (1) = f ( - 1) = 1$ - jednak zawężenie dziedziny tej funkcji do zbioru liczb naturalnych powoduje, iż ma ona na tym zbiorze funkcję odwrotną daną wzorem $f^{-1}(n)=\sqrt{n}$ dla $n\in\mathbb{N}$ .
Funkcją odwrotną do funkcji danej wzorem $h(x) = \tfrac{1}{x}$ dla $x\neq 0$ jest ona sama, tzn. $h^{-1}(x) = \tfrac{1}{x}$ (zob. Inwolucje).

[edytuj] Własności

[edytuj] Jednoznaczność

Jeżeli funkcja odwrotna do danej istnieje, to jest ona wyznaczona jednoznacznie: jest ona relacją odwrotną.

[edytuj] Symetria

Między funkcją a funkcją do niej odwrotną istnieje symetria. Dokładniej, jeśli odwrotną do $f$ jest $f - 1$ , to odwrotną do $f - 1$ jest funkcja $f$ . Symbolicznie:

$\begin{align} &\text{je}\dot\text{z}\text{eli } & f^{-1} \circ f = \operatorname{id}_X\text{,} \\ &\text{to } & f \circ f^{-1} = \operatorname{id}_Y\text{.} \end{align}$

Obserwacja ta zachodzi na mocy uwagi, iż odwrotność relacji jest inwolucją: powtórzenie tej operacji cofa do punktu wyjścia. Własność symetrii może być wyrażona krótko za pomocą wzoru:

$\left(f^{-1}\right)^{-1} = f$ .

[edytuj] Odwrotność złożenia

Funkcją odwrotną do g ◦ f jest f^–1 ◦ g^–1.

Funkcja odwrotna złożenia funkcji dana jest wzorem

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$ .

Należy zwrócić uwagę na zamieniony porządek $f$ i $g$ : aby odczynić działanie $g$ następującego po $f$ należy najpierw odczynić $f$ , a następnie odczynić $g$ .

[edytuj] Inwolucje

Jeżeli $X$ jest dowolnym zbiorem, to funkcja tożsamościowa na $X$ jest swoją własną odwrotnością:

$\operatorname{id}_X^{-1} = \operatorname{id}_X$ .

Ogólniej, jeżeli funkcja $f\colon X \to X$ jest równa swojej odwrotności wtedy i tylko wtedy, gdy złożenie $f \circ f$ jest równe $\operatorname{id}_X$ . Takie funkcje nazywa się inwolucjami.

[edytuj] Zachowywane własności

Funkcja odwrotna do funkcji rosnącej jest rosnąca.
Funkcja odwrotna do funkcji malejącej jest malejąca.
Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej jest ciągła.
Funkcja odwrotna do funkcji różniczkowalnej $f (x)$ jest różniczkowalna wszędzie, z wyjątkiem obrazów punktów, dla których $f^\prime (x)=0$ , w szczególności $(f^{-1})^\prime(y)=\tfrac{1}{f^\prime(x)}$
Wykres funkcji odwrotnej do f jest symetryczny do wykresu f względem prostej $y = x$

Przypisy

↑ Z punktu widzenia definicji funkcji jako trójki uporządkowanej składającej się z dziedziny, przeciwdziedziny i wykresu, funkcje symbole $\sin \colon \mathbb{R}\to [-1,1]$ oraz $\sin \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ mówią o dwóch różnych funkcjach sinus - w praktyce nie ma to jednak większego znaczenia

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Kategoria: Funkcje matematyczne

Ukryta kategoria: Artykuły wymagające uzupełnienia źródeł od 2009-01

Bombowy proces Dody

- To nie jest cyrk, to nie są jaja - powiedziała Dorota "Doda" Rabczewska po tym jak pojawiła się w warszawskim sądzie na rozprawie o naruszenie czci. Po czym ostentacyjnie zaczęła jeść żelki i częstować nimi swojego adwokata.

Wielkopolskie: auto wjechało w przystanek, 9 osób rannych

72-letni kierowca fiata punto wjechał w przystanek autobusowy w Ostrowie Wielkopolskim. 9 osób zostało rannych. Dwie są w stanie ciężkim

Warszawa: Instytut Psychiatrii i Neurologii nadal nie przyjmuje pacjentów

Warszawski Instytut Psychiatrii i Neurologii z powodu protestu pielęgniarek drugi dzień nie przyjmuje pacjentów. Dotychczasowe rozmowy dyrekcji z protestującymi nie przyniosły efektu.

Kryzys zaszkodzi Wielkiej Orkiestrze?

Kryzys gospodarczy daje się we znaki wszystkim. Niewykluczone, że w tym roku dotknie także Wielką Orkiestrę Świątecznej Pomocy. Od kilku tygodni mówi się, że Fundacja Jurka Owsiaka ma problem ze znalezieniem sponsorów na najbliższy, niedzielny finał.

Okradł, a następnie szantażował pokrzywdzonego

8 tys. zł okupu, za zwrot skradzionego mienia, zażądał anonimowy mężczyzna od przedsiębiorcy ze Zdzieszowic (opolskie), którego firmę okradł kilka godzin wcześniej. Łupem złodzieja padł sprzęt elektrotechniczny o wartości przekraczającej 25 tys. zł. Okradziony skontaktował się z policją, dzięki czemu 45-letni przestępca został szybk ozatrzymany.

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Funkcja odwrotna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Uwaga

[edytuj] Definicja

[edytuj] Istnienie

[edytuj] Wyznaczanie

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Własności

[edytuj] Jednoznaczność

[edytuj] Symetria

[edytuj] Odwrotność złożenia

[edytuj] Inwolucje

[edytuj] Zachowywane własności

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach