Funkcja homograficzna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, jakie informacje budzą wątpliwości.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja postaci $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

gdzie $ad - bc \ne 0$ .

Współczynniki $a,b,c,d \,$ i zmienna $x\,$ mogą być liczbami rzeczywistymi, zespolonymi lub ogólniej - mogą być elementami dowolnego ciała.

Dla $c = 0\,$ funkcja homograficzna jest zarazem funkcją liniową (wówczas oczywiście $a \ne 0$ ) .

Spis treści

1 Różnowartościowość homografii
2 Dziedzina i zbiór wartości
3 Grupowe własności funkcji homograficznej
4 Rozkład homografii
5 Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej
6 Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej
- 6.1 Wykres
- 6.2 Przesunięcie wykresu hiperboli
7 Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej
8 Zobacz też

[edytuj] Różnowartościowość homografii

Homografia jest funkcją różnowartościową niezależnie od ciała, w którym jest określona.

Istotnie, jeśli $f(x_1)=f(x_2)\,$ czyli $\frac{ax_1+b}{cx_1+d} = \frac{ax_2+b}{cx_2+d}$

to $(ax_1+b)(cx_2+d) = (ax_2+b)(cx_1+d)\,$

Po rozpisaniu obu stron, redukcji i zwinięciu wyrażenia dostajemy

$(ad-bc)(x_1-x_2) = 0 \,$

a ponieważ $ad - bc \ne 0$

więc $x_1=x_2\,$

[edytuj] Dziedzina i zbiór wartości

Wprost z definicji wynika, że funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ gdzie $c \ne 0 \,$ jest określona dla $x\ne -\frac{d}{c}$ , oraz że funkcji ta nigdy nie osiąga wartości $\frac{a}{c}$ .

Często jednak dla wygody i spójności rozważań o konkretnej funkcji homograficznej uzupełnia się dziedzinę i przeciwdziedzinę o pewien element $\infty$ spełniający:

Dla $c=0 \quad f(\infty) = \infty,\quad x\ne \infty\Rightarrow f(x)\ne \infty$

Dla $c\ne0 \quad f(\infty) = \frac{a}{c}, \quad f(-\frac{d}{c})=\infty$

Dzięki temu homografia $f$ staje się wzajemnie jednoznaczną funkcją $f:K\cup\{\infty\}\rightarrow K\cup\{\infty\}$

Topologia dwóch szczególnych ciał tj. ciała liczb rzeczywistych R i ciała liczb zespolonych C powoduje, że po dołączenie tego elementu pierwszy ze zbiorów domyka się do okręgu, drugi do sfery.

[edytuj] Grupowe własności funkcji homograficznej

Zbiór wszystkich funkcji homograficznych określonych w danym ciele tworzy grupę ze względu na składanie.

Rzeczywiście, jeśli $g(x)=\frac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1},\quad f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

gdzie $a_1d_1-b_1c_1 \ne 0,\quad ad-bc \ne 0$

to $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{(a_1a+b_1c)x+a_1b+b_1d}{(c_1a+d_1c)x+c_1b+d_1d}$

gdzie $(a_1a+b_1c) (c_1b+d_1d) - (a_1b+b_1d)(c_1a+d_1c) = (a_1d_1-b_1c_1)(ad-bc) \ne 0$ .

Czyli $g\circ f$ też jest homografią.

Oczywiście homografia $f(x)=x\,$ jest jednością (elementem neutralnym) tej grupy.

Ponadto łatwo można sprawdzić, że dla homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ elementem odwrotnym jest homografia $f^{-1}(x)=\frac{dx-b}{-cx+a}$ .

Oznaczmy przez $M_f = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{pmatrix}$ macierz złożoną ze współczynników homografii $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$

Zauważmy, że warunek dla współczynników $ad-bc \ne 0$ oznacza, iż $M_f \,$ jest macierzą nieosobliwą.

Zauważmy też, że współczynniki złożenia $g\circ f$ są elementami iloczynu macierzy $M_g\cdot M_f$

Można to symbolicznie zapisać

$M_{g\circ f} = M_g\cdot M_f$

Oznacza to, że grupę homografii nad pewnym ciałem można zanurzyć w grupie nieosobliwych macierzy $2\times 2$ nad tym samym ciałem.

Możliwość skracania/rozszerzania ułamka definiującego homografię utrudnia ustalenie izomorfizmu - jednej homografii odpowiada cała klasa macierzy "proporcjonalnych" do siebie. Dla niektórych ciał znalezienie izomorfizmu jest jednak dość proste - dla ciała R wystarczy ograniczyć się do grupy macierzy o wyznaczniku równym 1 lub -1, natomiast dla ciała C wystarczy grupa macierzy o wyznaczniku 1.

[edytuj] Rozkład homografii

Dla homografii, dla której $c\ne 0$ dostajemy

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{bc-ad}{c^2}\cdot\frac{1}{x+\frac{d}{c}}+\frac{a}{c}$

Jest więc ona złożeniem kolejno następujących funkcji:

Translacja: $f(z)=z+\frac{d}{c}$

Inwersja: $f(z)=\frac{1}{z}$

Jednokładność: $f(z)=\frac{bc-ad}{c^2}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{a}{c}$

Jeśli zaś c=0 to natychmiast widać, że homografia jako przekształcenie liniowe jest złożeniem dwóch funkcji:

Jednokładność: $f(z)=\frac{a}{d}\cdot z$

Translacja: $f(z)=z+\frac{b}{d}$

W języku macierzowym oznacza to, że każda macierz $2 \times 2$ może być przedstawiona jako iloczyn macierzy postaci $\begin{pmatrix} 1&a\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a&0\\0&1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0&1\\1&0 \end{pmatrix}$

Weźmy dwie dowolne homografie:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\quad g(x)=\frac{a'x+b'}{c'x+d'}$

gdzie c,c' ≠ 0.

Wówczas oznaczając D = ad-bc, D' = a'd'-b'c' dostaniemy:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}= \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot\frac{a'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+b'}{c'(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})+d'}-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c} = \frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot g(x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'})-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

czyli

$f(x) = (h_2\circ g \circ h_1) (x)$

gdzie h₂, h₁ są liniowymi funkcjami:

$h_2(x)=\frac{c'^2D}{c^2D'}\cdot x-\frac{a'c'D}{c^2D'}+\frac{a}{c}$

$h_1(x)=x+\frac{d}{c}-\frac{d'}{c'}$

Jedną homografię można więc otrzymać z innej przemnażając (w sensie składania) lewostronnie i prawostronnie przez pewne funkcje liniowe. Przydaje się to przy budowaniu i analizowaniu wykresów.

[edytuj] Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

Dowolne niezdegenerowane przekształcenie liniowe przestrzeni 2–wymiarowej nad dowolnym ciałem ma postać:

$y_1 = ax_1 +bx_2\,$

$y_2 = cx_1+dx_2\,$

Gdzie $ad-bd\ne 0\,$ oraz $x_i, y_i\,$ są współrzędnymi odpowiednich wektorów w ustalonej bazie.

Istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna między zbiorem podprzestrzeni 1-wymiarowych w 2-wymiarowej przestrzeni liniowej a zbiorem punktów na prostej rzutowej (tak buduje się jeden z modeli dla geometrii rzutowej). Stąd wystarczy potraktować współrzędne wektorów w jakiejkolwiek bazie jako zapis współrzędnych punktów rzutowych w układzie współrzędnych jednorodnych.

Ponieważ

$\frac {y_1}{y_2} = \frac{ax_1+bx_2}{cx_1+dx_2} = \frac {a\frac{x_1}{x_2}+b}{c\frac{x_1}{x_2}+d}$

więc przechodząc od współrzędnych jednorodnych do zwykłych (tj. rzutowych) $x:=\frac{x_1}{x_2},\quad y:=\frac{y_1}{y_2}$ dostaniemy:

$y = \frac {ax+b}{cx+d}$

Czyli dostaniemy funkcję homograficzną w pewnym układzie współrzędnych rzutowych. Oznacza to, że homografia jest analityczną postacią przekształcenia rzutowego prostej rzutowej na siebie. Zauważmy jeszcze, że jeśli w tym układzie współrzędnych przyjmiemy c=0, to wyróżnimy grupę przekształceń afinicznych prostej rzutowej na siebie. Nie możemy jednak wyróżnić podobieństw i izometrii nie mając określonego iloczynu skalarnego.

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a, b, c, d$ były liczbami rzeczywistymi.

[edytuj] Wykres

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$ i poziomą $y= \frac{a}{c}$ .

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$ . Jest ona

przedziałami malejąca gdy $a d - b c < 0$ oraz
przedziałami rosnąca $a d - b c > 0$ .

[edytuj] Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$ .

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^2x}$

o wektor $\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]$

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Homografia określona w ciele liczb zespolonych C jest funkcją holomorficzną.

Użycie ciała C do wprowadzenia układu współrzędnych na płaszczyźnie (w uproszczeniu: $C \equiv R^2$ ) dostarcza nowych faktów geometrycznych – homografia okazuje się być wówczas odwzorowaniem konforemnym czyli równokątnym odwzorowaniem płaszczyzny na siebie (dotyczy to zresztą wszystkich funkcji holomorficznych w punktach, w których pochodna nie zeruje się).

Homografia wyróżnia się jeszcze jedną ciekawą własnością geometryczną - jest funkcją $C\cup\{\infty\}\rightarrow C\cup\{\infty\}$ zachowującą okręgi tzn. obrazem okręgu jest okrąg (za okręgi uznajemy także proste). W szczególności taką własność ma inwersja zespolona $f(z)=\frac {1}{z}$ . Geometrycznie zdefiniowaną inwersję otrzymujemy składając inwersję zespoloną ze sprzężeniem, czyli stosując funkcję $f(z)=\frac {1}{\bar z}$ .

Homografia określona w ciele C nazywana jest także odwzorowaniem Möbiusa.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Kategorie: Geometria rzutowa • Geometria konforemna • Funkcje matematyczne

Ukryta kategoria: Strony do weryfikacji

Kryzys zaszkodzi Wielkiej Orkiestrze?

Kryzys gospodarczy daje się we znaki wszystkim. Niewykluczone, że w tym roku dotknie także Wielką Orkiestrę Świątecznej Pomocy. Od kilku tygodni mówi się, że Fundacja Jurka Owsiaka ma problem ze znalezieniem sponsorów na najbliższy, niedzielny finał.

Okradł, a następnie szantażował pokrzywdzonego

8 tys. zł okupu, za zwrot skradzionego mienia, zażądał anonimowy mężczyzna od przedsiębiorcy ze Zdzieszowic (opolskie), którego firmę okradł kilka godzin wcześniej. Łupem złodzieja padł sprzęt elektrotechniczny o wartości przekraczającej 25 tys. zł. Okradziony skontaktował się z policją, dzięki czemu 45-letni przestępca został szybk ozatrzymany.

Zima nie odpuszcza: będą zamiecie i gołoledź

Przed trudnymi warunkami pogodowymi w północnej, środkowej i północno-wschodniej części kraju ostrzegają synoptycy. Można spodziewać się tam zamieci śnieżnych, a także marznącej mżawki i gołoledzi.

Sfotografuj "Dobrego Anioła" na XVII finale WOŚP

W najbliższą niedzielę rusza XVII finał Wielkiej Orkiestry Świątecznej Pomocy. Wieczorem wolontariusze z całej Polski organizują happening pt. "Światełko do Nieba", w którym to wysyłają w stronę nieba "Dobre Anioły". Zrób im zdjęcie i wygraj nagrodę!

Prokuratura czeka na ekspertyzę w sprawie "dopalaczy"

Łódzka prokuratura zleciła biegłym zbadanie próbek tzw. dopalaczy. Jeżeli wyniki badań potwierdzą, że w ich składzie znajdują się substancje odurzające lub psychotropowe możliwe będzie ściganie dystrybutora tych używek.

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Funkcja homograficzna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Różnowartościowość homografii

[edytuj] Dziedzina i zbiór wartości

[edytuj] Grupowe własności funkcji homograficznej

[edytuj] Rozkład homografii

[edytuj] Funkcja homograficzna jako przekształcenie rzutowe prostej

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

[edytuj] Wykres

[edytuj] Przesunięcie wykresu hiperboli

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach