Funkcja harmoniczna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Funkcja harmoniczna – funkcja rzeczywista $f: \mathbb R^n \to \mathbb R$ , której wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu są ciągłe w każdym punkcie spełniająca równanie różniczkowe Laplace'a:

$\Delta f \equiv 0$ ,

gdzie $Δ$ jest operatorem Laplace'a.

Poniżej piszemy $A\Subset\Omega$ , gdy $\overline{A}\subseteq\Omega$ oraz oznaczamy $B^n(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n$ kulę środku $x$ i promieniu $r$ , a $S^{n-1}(x,r)\subseteq\mathbb{R}^n$ sferę o środku x i promieniu r. Miarę zbioru $\mathcal{A}$ oznaczamy przez $|\mathcal{A}|$ .

Spis treści

1 Funkcje sub- i superharmoniczne
2 Własność wartości średniej
3 Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych
4 Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej
5 Przykłady
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Funkcje sub- i superharmoniczne

Funkcję $u$ nazywamy subharmoniczną, gdy $\Delta u \ge 0$ oraz superharmoniczną, gdy $\Delta u \le 0$ .

[edytuj] Własność wartości średniej

Niech $u\in C^2(\Omega), x\in \Omega, r>0, B(x,r) \Subset \Omega$ oraz $u$ harmoniczna w $Ω$ . Wówczas:

$u(x) = \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}$

$u(x) = \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}$

Zatem w każdym punkcie wartość funkcji jest równa średniej wartości po sferze (lub kuli) o środku w tym punkcie i dowolnym promieniu, takim że sfera (kula) leży całkowicie w obszarze harmoniczności funkcji.

Dla funkcji sub- i superharmonicznych istnieją analogiczne własności wartości średniej. Dla funkcji subharmonicznych:

$u(x) \le \frac{1}{|S^{n-1}(x,r)|}\int_{S^{n-1}(x,r)}{u(z)d\sigma(z)}$

$u(x) \le \frac{1}{|B^{n-1}(x,r)|}\int_{B^{n-1}(x,r)}{u(z)dz}$

[edytuj] Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych

Niech $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ będzie otwarty, ograniczony i spójny, $u\in C^2(\Omega)$ oraz u harmoniczna w $Ω$ . Przypuśćmy, że funkcja u przyjmuje supremum w punkcie $x_0\in\Omega,$ tj. $\sup_{x\in\Omega}{u(x)}=u(x_0)=M$ . Wówczas $u(x)\equiv M$ dla każdego $u\in\Omega$ .

Zatem funkcja subharmoniczna musi przyjmować maksima na brzegu $Ω$ . Analogiczna zasada, lecz z przeciwnym znakiem, istnieje dla funkcji superharmonicznych - nie mogą one przyjmować infimum wewnątrz obszaru $Ω$ .

[edytuj] Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej

Funkcję $u:\mathcal{U}\to\mathbb{R}$ nazywamy subharmoniczną gdy dla każdej kuli $B\Subset\mathcal{U}$ i każdej funkcji harmonicznej $h:B\to\mathbb{R}$ i takiej że $h\vert{}_{\partial B} \le u\vert_{\partial B}$ spełnione jest $h \le u$ na całej kuli $B$ .

Zauważmy, że ta definicja nie używa pojęcia pochodnej. Można jednak pokazać, że dla funkcji klasy $C 2$ obie definicje są równoważne.

[edytuj] Przykłady

Rozpatrzmy tzw. rozwiązanie podstawowe laplasjanu:

$\Gamma(x-y)=\begin{cases} \frac{1}{(2-n)|S^{n-1}(0,1)|} |x-y|^{2-n} & n>2 \\ \frac{1}{2\pi}{\log{|x-y|}} & n=2 \end{cases}$

gdzie $n$ oznacza wymiar przestrzeni. Dla $x\ne{}y$ mamy $ΔΓ(x - y) = 0$ .

[edytuj] Bibliografia

Lawrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, 2002, Warszawa
Walter Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, 1986, Łódź

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Równania różniczkowe

Kryzys zaszkodzi Wielkiej Orkiestrze?

Kryzys gospodarczy daje się we znaki wszystkim. Niewykluczone, że w tym roku dotknie także Wielką Orkiestrę Świątecznej Pomocy. Od kilku tygodni mówi się, że Fundacja Jurka Owsiaka ma problem ze znalezieniem sponsorów na najbliższy, niedzielny finał.

Okradł, a następnie szantażował pokrzywdzonego

8 tys. zł okupu, za zwrot skradzionego mienia, zażądał anonimowy mężczyzna od przedsiębiorcy ze Zdzieszowic (opolskie), którego firmę okradł kilka godzin wcześniej. Łupem złodzieja padł sprzęt elektrotechniczny o wartości przekraczającej 25 tys. zł. Okradziony skontaktował się z policją, dzięki czemu 45-letni przestępca został szybk ozatrzymany.

Zima nie odpuszcza: będą zamiecie i gołoledź

Przed trudnymi warunkami pogodowymi w północnej, środkowej i północno-wschodniej części kraju ostrzegają synoptycy. Można spodziewać się tam zamieci śnieżnych, a także marznącej mżawki i gołoledzi.

Sfotografuj "Dobrego Anioła" na XVII finale WOŚP

W najbliższą niedzielę rusza XVII finał Wielkiej Orkiestry Świątecznej Pomocy. Wieczorem wolontariusze z całej Polski organizują happening pt. "Światełko do Nieba", w którym to wysyłają w stronę nieba "Dobre Anioły". Zrób im zdjęcie i wygraj nagrodę!

Prokuratura czeka na ekspertyzę w sprawie "dopalaczy"

Łódzka prokuratura zleciła biegłym zbadanie próbek tzw. dopalaczy. Jeżeli wyniki badań potwierdzą, że w ich składzie znajdują się substancje odurzające lub psychotropowe możliwe będzie ściganie dystrybutora tych używek.

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Funkcja harmoniczna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Funkcje sub- i superharmoniczne

[edytuj] Własność wartości średniej

[edytuj] Zasada maksimum dla funkcji subharmonicznych

[edytuj] Alternatywna definicja funkcji subharmonicznej

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach