Funkcja Γ
Z Wikipedii
Funkcja gamma — jedna z funkcji specjalnych, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera):
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt
jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części można pokazać, że:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma(z+1)=z\cdot\Gamma(z).
Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n.
Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma(z) = \lim_{n\rightarrow +\infty}{{n!n^z}\over{z(z+1)(z+2) \ldots (z+n)}}= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^z}{1+\frac{z}{n}}
Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego):
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \frac{1}{\Gamma (z)}=ze^{\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \left[\left(1+\frac{z}{n}\right)e^{-\frac{z}{n}}\right]
Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych.
Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności.
Spis treści |
[edytuj] Własności funkcji Gamma:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z+1)=z\cdot \Gamma (z)
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z)\cdot \Gamma (z+ \frac{1}{2}) =\frac{\sqrt{\pi }}{2^{2\cdot z\ -1}}\cdot \Gamma (2\cdot z)
Następujące dwa wzory zachodzą, jeśli mianownik jest niezerowy:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z) =\frac{\pi }{\sin{\pi z}}
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z+\frac{1}{2})\cdot \Gamma (\frac{1}{2}-z) =\frac{\pi }{\cos{\pi z}}
Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): -1<Re(z)<1 , to:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z)=\frac{1}{\sin{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\sin{t}dt
Jeśli Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): 0<Re(z)<1 , to:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (z)=\frac{1}{\cos{\frac{\pi}{2}z}}\int_0^\infty t^{z-1}\cos{t}dt
Wzór iloczynowy Gaussa:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (nz)=\frac{n^{nz}}{\sqrt{(2\pi)^{n-1}}}\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{n})\Gamma(z+\frac{2}{n})\ldots\Gamma(z+\frac{n-1}{n})
Dla n całkowitych, dodatnich zachodzi:
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (n)\ =\ (n-1)!
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma (n+\frac{1}{2})=\frac{(2n-1)!!}{2^n}\sqrt{\pi}
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \Gamma(n+1/p) = \Gamma(1/p) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}
gdzie Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): x^{(p)}
oznacza tzw. silnię wielokrotną p-tą.
[edytuj] Wybrane wartości funkcji Gamma
- Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): \begin{array}{lll} \Gamma(-2) &- & \\ \Gamma(-3/2) &= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} &\approx 2.363271801 \\ \Gamma(-1) &- & \\ \Gamma(-1/2) &= -2\sqrt{\pi} &\approx -3.544907702 \\ \Gamma(0) &- & \\ \Gamma(1/7) & &\approx 6.548062940 \\ \Gamma(1/6) & &\approx 5.566316002 \\ \Gamma(1/5) & &\approx 4.590843712 \\ \Gamma(1/4) & &\approx 3.625609908 \\ \Gamma(1/3) & &\approx 2.678938535 \\ \Gamma(1/2) &= \sqrt{\pi} &\approx 1.772453851 \\ \Gamma(1) &= 0! &= 1 \\ \Gamma(x_{min}) & &= 0.885603194 \\ \Gamma(3/2) &= \frac {\sqrt{\pi}} {2} &\approx 0.886226925 \\ \Gamma(2) &= 1! &= 1 \\ \Gamma(5/2) &= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} &\approx 1.329340388 \\ \Gamma(3) &= 2! &= 2 \\ \Gamma(7/2) &= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} &\approx 3.323350970 \\ \Gamma(4) &= 3! &= 6 \\ \end{array}
Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): x_{min}
jest to taki argument funkcji Γ, gdzie przyjmuje ona minimum lokalne dla x > 0, Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): x_{min}\approx 1.461632145
.
Funkcja Γ(z) nie jest określona dla z = 0, -1, -2, ... (ma tam bieguny o residuum Parser nie mógł rozpoznać (Nie można utworzyć lub zapisywać w wyjściowym katalogu dla wzorów matematycznych): (-1)^n/n! ).
[edytuj] Linki zewnętrzne
[edytuj] Zobacz też
| Zima nie odpuszcza: będą zamiecie i gołoledź |
Przed trudnymi warunkami pogodowymi w północnej, środkowej i północno-wschodniej części kraju ostrzegają synoptycy. Można spodziewać się tam zamieci śnieżnych, a także marznącej mżawki i gołoledzi. |
| Sfotografuj "Dobrego Anioła" na XVII finale WOŚP |
W najbliższą niedzielę rusza XVII finał Wielkiej Orkiestry Świątecznej Pomocy. Wieczorem wolontariusze z całej Polski organizują happening pt. "Światełko do Nieba", w którym to wysyłają w stronę nieba "Dobre Anioły". Zrób im zdjęcie i wygraj nagrodę! |
| Prokuratura czeka na ekspertyzę w sprawie "dopalaczy" |
Łódzka prokuratura zleciła biegłym zbadanie próbek tzw. dopalaczy. Jeżeli wyniki badań potwierdzą, że w ich składzie znajdują się substancje odurzające lub psychotropowe możliwe będzie ściganie dystrybutora tych używek. |
| Prokurator: Nie zgubiłem akt Pruszkowa. Ukradli mi |
Pendrive z prokuratorskimi dokumentami został skradziony, a nie zgubiony. Jak nieoficjalnie dowiedział się reporter radia TOK FM tak przynajmniej twierdzi prokurator, do którego należał nośnik danych. |
| SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski |
SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski. |
| Suwalszczyzna: zawieje i zamiecie przeszkodziły uczniom w dotarciu do szkół |
Z powodu śnieżyc wiele dzieci na Suwalszczyźnie nie dotarło w piątek do szkół. Problemy z dowozem miały autobusy PKS i gimbusy. |
| Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA |
Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier. |
| Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport |
Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala. |
| Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka |
Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego |
| Mniejszy klub PiS |
Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI. |
