Funkcja ciągła

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Funkcje matematyczne

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area (polowe)
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość i nieparzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Ciągłość funkcji – jedna z najważniejszych własności funkcji.

Intuicyjnie ciągłą funkcję rzeczywistą określoną na przedziale można sobie wyobrazić jako posiadającą wykres, dający się narysować bez odrywania ołówka od papieru (oczywiście zakładając, że dopuszczamy „narysowanie” nieskończenie długiej linii).

Jeśli funkcja rzeczywista jest ciągła, to w dowolnym przedziale domkniętym zawartym w jej dziedzinie ma ona maksimum, minimum i przyjmuje wszystkie wartości pomiędzy nimi.

Spis treści

1 Funkcje rzeczywiste
2 Przestrzenie metryczne i unormowane
3 Przestrzenie topologiczne
4 Własności
- 4.1 Funkcje rzeczywiste
- 4.2 Topologia
5 Przestrzeń funkcji ciągłych
6 Pojęcie teorio-mnogościowe
7 Zobacz też

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

Dla funkcji rzeczywistych istnieją dwie definicje ciągłości: jedna z nich podana przez Augustina Louisa Cauchy'ego, nazywana popularnie epsilonowo-deltową z racji przyjętych zwyczajowych oznaczeń; druga zaproponowana przez Heinricha Eduarda Heinego, nazywana też definicją ciągową. Niech $M \subseteq \mathbb R$ oraz $f\colon M \to \mathbb R$ .

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

Jeżeli $f$ spełnia dla ustalonego $x \in M$ warunek

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to powiemy, że jest ciągła w sensie Cauchy'ego w punkcie $x$ . Jeżeli spełnia ona powyższy warunek dla każdego $x \in M$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

to mówimy, że jest ciągła (w sensie Cauchy'ego) na zbiorze $M$ .

[edytuj] Definicja Heinego

Powiemy że funkcja $f$ jest ciągła w sensie Heinego w punkcie $x \in M$ , jeśli dla każdego ciągu $(x n)$ liczb z $M$ , który jest zbieżny do $x$ ciąg wartości $\big(f(x_n)\big)$ jest zbieżny do $f (x)$ , czyli

$\forall_{x \in M}\; x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x)$ .

[edytuj] Uwagi

Warto zauważyć, że z obiema definicjami ciągłości funkcji w punkcie są związane odpowiednie definicje granicy funkcji w punkcie. Używając pojęcia granicy funkcji możemy powiedzieć, że funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $x \in X$ , gdy albo $x$ nie jest punktem skupienia zbioru $M$ , albo $\lim\limits_{a \to x}~f(a) = f(x).$

Należy także zwracać bacznie uwagę na kolejność kwantyfikatorów we wzorze na ciągłość w sensie Cauchy'ego dla danego zbioru. Przesunięcie pierwszego kwantyfikatora na trzecią pozycję, mianowicie

$\forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{x \in M}\; \forall_{y \in M}\; |x-y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ ,

prowadzi do sformułowania o wiele silniejszej własności, tzw. ciągłości jednostajnej.

Obie definicje (Cauchy'ego i Heinego) są równoważne już przy założeniu bardzo słabej wersji aksjomatu wyboru i nie jest on potrzebny dla dowodu równoważności globalnej ciągłości w odpowiednich znaczeniach.

[edytuj] Ciągłość jednostronna

Rozpatruje się czasami funkcje ciągłe jednostronnie: lewo- i prawostronne. Dla definicji Cauchy'ego należy dodać warunek dla $y$ , mianowicie $y < x$ , aby otrzymać funkcję ciągłą lewostronnie. Oczywiście definicja funkcji ciągłej prawostronnie wymaga zmiany powyższej nierówności na przeciwną. Definicja Heinego wymaga wybrania dowolnego ciągu zbliżającego się do $x$ wyłącznie punktami z lewej lub prawej strony.

[edytuj] Przykłady

Rozpatrujemy funkcje $\cdot\colon \mathbb R \to \mathbb R$ :

wszystkie funkcje elementarne są ciągłe (co jest również prawdą w ogólniejszym przypadku),
funkcja dana wzorem

$f(x) = \begin{cases} \tfrac{\sin x}{x} & \mbox{dla } x \ne 0 \\\; 1 & \mbox{dla } x = 0 \end{cases}$

jest ciągła,

funkcja Dirichleta D jest nigdzie ciągła (tzn. nie jest ciągła w żadnym punkcie swojej dziedziny),
- funkcja $D_1(x) = x \cdot D(x)$ jest ciągła wyłącznie w punkcie $x = 0$ ,
- funkcja $D_{\mathbb Z} = \sin(x \pi) \cdot D(x)$ jest ciągła we wszystkich całkowitych punktach dziedziny,
funkcja Riemanna $R$ jest ciągła we wszystkich niewymiernych i nieciągła we wszystkich wymiernych punktach dziedziny.

[edytuj] Przestrzenie metryczne i unormowane

W przestrzeniach metrycznych i przestrzeni unormowanych stosuje się nieznacznie tylko zmodyfikowane wersje definicji Cauchy'ego zastępując każdą wartość bezwzględną odpowiednią dla każdej przestrzeni metryką lub normą.

Dla przestrzeni metrycznych $(X, d X)$ oraz $(Y, d Y)$ funkcja $f\colon X \to Y$ jest ciągła, jeśli prawdziwy jest wzór

$\forall_{x \in X}\; \forall_{\varepsilon > 0}\; \exists_{\delta > 0}\; \forall_{y \in X}\; d_X(x, y) < \delta \implies d_Y(f(x), f(y)) < \varepsilon$ .

Powyższą implikację można zapisać również w postaci

$f(B_X(x, \delta)) \subseteq B_Y(f(x), \varepsilon)$

albo

$B_X(x, \delta) \subseteq f^{-1}\big(B_Y(f(x), \varepsilon)\big)$ ,

gdzie $B X, B Y$ są kulami odpowiednio w $X, Y$ .

[edytuj] Przestrzenie topologiczne

Ciągłość funkcji w punkcie: dla otoczenia

V

punktu

f (x)

możemy znaleźć otoczenie

U

punktu

x

takie, że

f (U)

jest zawarte w

V

(czyli

U

jest zawarte w przeciwobrazie

V

)

Najpełniejszą oraz najogólniejszą definicję ciągłości wprowadza się w topologii.

Niech $(X,τ X)$ oraz $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi, a $f\colon X \to Y$ przekształceniem między nimi. Powiemy, że $f$ jest ciągła, jeśli przeciwobraz dowolnego zbioru otwartego w $Y$ jest zbiorem otwartym w $X$ , co zapisuje się następująco:

$\forall_{U \in \tau_Y}\; f^{-1}(U) \in \tau_X$ .

Równoważnie można wymagać, aby przeciwobraz zbioru domkniętego był domknięty. Jeśli przestrzenie $X, Y$ są metryzowalne, to powyższa definicja zgadza się z definicją ciągłości w sensie Cauchy'ego podaną wyżej.

[edytuj] Własności

złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

Jeśli funkcja $f\colon [a, b] \to \mathbb R$ jest ciągła, to $f$ na swojej dziedzinie

jest jednostajnie ciągła,
przyjmuje swoje ekstrema, zob. twierdzenie Weierstrassa,
ma własność Darboux, zob. twierdzenie Darboux.

[edytuj] Topologia

Niech $(X,τ X)$ i $(Y,τ Y)$ będą przestrzeniami topologicznymi oraz $f, g\colon X \to Y$ .

Aby sprawdzić ciągłość funkcji $f$ nie trzeba badać wszystkich elementów topologii danej przestrzeni, lecz wystarczy to zrobić dla pewnej jej bazy $\mathcal B$ :

$\forall_{U \in \mathcal B}\; f^{-1}(U)\in \tau_X$ .

Z dobrych własności przeciwobrazu ciągłość można także badać za pomocą zbiorów domkniętych:

przeciwobraz dowolnego zbioru domkniętego w $Y$ jest domknięty $X$
dla każdego zbioru $A \subseteq X$ mamy $f(\operatorname{cl}\;A) \subseteq \operatorname{cl}\;f(A)$ , gdzie $\operatorname{cl}$ jest operatorem domknięcia,
dla $B\subseteq Y$ zachodzi $\operatorname{cl}\;f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\operatorname{cl}\;B)$ ,

Przy przekształceniach ciągłych zachowywane są takie własności przestrzeni jak:

Jeśli zbiór $D$ jest gęsty w $X$ oraz $f\bigg|_D = g\bigg|_D$ , to $f = g$ .

Niech $I \subseteq \mathbb N$ oraz $X = \prod_{i \in I}~X_i$ będzie produktem Tichonowa, wówczas dla $j \in I$ przekształcenie

$\pi_j\colon X \to X_j, x = \langle x_i\colon i \in I \rangle \mapsto x_j$

jest ciągłym rzutem na $j$ -tą współrzędną.

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych

W topologii i analizie funkcjonalnej często bada się przestrzenie, których elementami są funkcje ciągłe z pewnej przestrzeni topologicznej w inną, które dla arbitralnych przestrzeni $X, Y$ oznacza się symbolem $\mathcal C(X, Y)$ . Takie przestrzenie są szczególnymi przypadkami przestrzeni funkcyjnych.

Jednym z najbardziej popularnych przykładów są przestrzenie funkcji ciągłych o wartościach w liczbach rzeczywistych. Pierścień $\mathcal C(X, \mathbb R)$ o elementach będących odwzorowaniami ciągłymi z $X$ w $\mathbb R$ i operacjach algebraicznych wprowadzanych „punktowo” jest ważnym obiektem topologicznym. Przeprowadzono wiele badań w poszukiwaniu związków struktury algebraicznej tego pierścienia ze strukturą topologiczną przestrzeni $(X,τ X)$ .

Na przestrzeni $\mathcal C(X, \mathbb R)$ rozważa się także strukturę topologiczną wprowadzając topologie:

zbieżności punktowej: zgodną z topologią Tichonowa na iloczynie $\prod_{x \in X}~\mathbb R$ ,
zbieżności jednostajnej: w której bazą otoczeń punktu $f \in \mathcal C(X)$ jest $\{U_n(f)\colon n = 1, 2, 3, \dots\}$ ,; gdzie $U_n(f) = \left\{g \in \mathcal C(X)\colon \forall_{x \in X}\; |f(x) - g(x)| < \tfrac{1}{n}\right\}$ .

[edytuj] Pojęcie teorio-mnogościowe

Niech $(A, \le_A)$ oraz $(B, \le_B)$ będą porządkami zupełnymi, wtedy funkcja $f: A \to B$ jest ciągła jeżeli zachowuje kresy górne podzbiorów skierowanych, tzn:

Niech $X \subseteq A$ będzie podzbiorem skierowanym, wtedy $f(\sup X) = \sup f(X)$

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Funkcje ciągłe

Wielkopolskie: auto wjechało w przystanek, 9 osób rannych

Kierowca fiata punto wjechał w przystanek autobusowy w Ostrowie Wielkopolskim - podaje TVN24. 9 osób zostało rannych. Dwie są w stanie ciężkim

Warszawa: Instytut Psychiatrii i Neurologii nadal nie przyjmuje pacjentów

Warszawski Instytut Psychiatrii i Neurologii z powodu protestu pielęgniarek drugi dzień nie przyjmuje pacjentów. Dotychczasowe rozmowy dyrekcji z protestującymi nie przyniosły efektu.

Kryzys zaszkodzi Wielkiej Orkiestrze?

Kryzys gospodarczy daje się we znaki wszystkim. Niewykluczone, że w tym roku dotknie także Wielką Orkiestrę Świątecznej Pomocy. Od kilku tygodni mówi się, że Fundacja Jurka Owsiaka ma problem ze znalezieniem sponsorów na najbliższy, niedzielny finał.

Okradł, a następnie szantażował pokrzywdzonego

8 tys. zł okupu, za zwrot skradzionego mienia, zażądał anonimowy mężczyzna od przedsiębiorcy ze Zdzieszowic (opolskie), którego firmę okradł kilka godzin wcześniej. Łupem złodzieja padł sprzęt elektrotechniczny o wartości przekraczającej 25 tys. zł. Okradziony skontaktował się z policją, dzięki czemu 45-letni przestępca został szybk ozatrzymany.

Zima nie odpuszcza: będą zamiecie i gołoledź

Przed trudnymi warunkami pogodowymi w północnej, środkowej i północno-wschodniej części kraju ostrzegają synoptycy. Można spodziewać się tam zamieci śnieżnych, a także marznącej mżawki i gołoledzi.

SLD chce "białej księgi" w sprawie polityki gazowej Polski

SLD chce, by powstała tzw. biała księga w sprawie polityki gazowej Polski.

Sejm: PO i PiS przeciw nowelizacji ustawy o CBA

Sejm odrzucił w pierwszym czytaniu projekt nowelizacji ustawy o Centralnym Biurze Antykorupcyjnym. Według projektu nadzór nad Biurem miałby objąć minister odpowiedzialny za sprawy wewnętrzne, a nie - jak dotychczas - premier.

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Funkcja ciągła

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

[edytuj] Definicja Cauchy'ego

[edytuj] Definicja Heinego

[edytuj] Uwagi

[edytuj] Ciągłość jednostronna

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Przestrzenie metryczne i unormowane

[edytuj] Przestrzenie topologiczne

[edytuj] Własności

[edytuj] Funkcje rzeczywiste

[edytuj] Topologia

[edytuj] Przestrzeń funkcji ciągłych

[edytuj] Pojęcie teorio-mnogościowe

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach