Formuła logiczna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Formuła logiczna to określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.

Spis treści

1 Rachunek zdań
- 1.1 Przykłady
2 Rachunek kwantyfikatorów
3 Zobacz też

[edytuj] Rachunek zdań

Zdania rachunku zdań są formułami tegoż rachunku. Tak więc, każda zmienna zdaniowa $p i$ jest formułą. Taką formułę nazywa się literałem lub formułą atomową. Formułami są także negacje formuł atomowych, tzn $\neg p_i$ . Ponadto, jeżeli $\varphi,\psi$ są formułami i $*$ jest binarnym spójnikiem zdaniowym (alternatywą $\vee$ , koniunkcją $\wedge$ , implikacją $\Rightarrow$ lub równoważnością $\Leftrightarrow$ ), to $(\varphi*\psi)$ oraz $\neg \varphi$ są formułami. Żadne inne wyrażenie nie może być formułą.

[edytuj] Przykłady

Wbrew definicji formalnej, w sytuacjach, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, część nawiasów w formule opuszcza się. Przykładowo, zgodnie z definicją formalną wyrażenie : $(p \vee q \vee r)$ nie jest formułą (formułą byłoby np. wyrażenie $((p \vee q) \vee r))$ , lecz interpretacja takiej formuły jest jednoznaczna i wewnętrzne nawiasy w praktyce pomija się.

[edytuj] Rachunek kwantyfikatorów

Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów pierwszego rzędu), jako uogólnienie rachunku zdań, posługuje się podobną definicją formalną formuły, rozszerzając ją o kwantyfikatory - jeżeli φ jest formułą rachunku kwantyfikatorów, to $\forall x \phi$ oraz $\exist x \phi$ są nią również.

[edytuj] Formalna definicja

Niech $τ$ będzie ustalonym alfabetem, czyli zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Niech $x_0,x_1,\ldots$ będzie nieskończoną listą zmiennych.

Przypomnijmy, że termy języka ${\mathcal L}(\tau)$ to elementy najmniejszego zbioru ${\bold T}$ takiego, że:

wszystkie stałe i zmienne należą do ${\bold T}$ ,
jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ i $f\in\tau$ jest $n$ -arnym symbolem funkcyjnym, to $f(t_1,\ldots,t_n)\in {\bold T}$ .

Formuły języka ${\mathcal L}(\tau)$ są wprowadzane przez indukcję po ich złożoności jak następuje:

jeśli $t_1, t_2\in {\bold T}$ , to wyrażenie $t 1 = t 2$ jest formułą (tzw formuła atomową),
jeśli $t_1,\ldots,t_n\in {\bold T}$ zaś $P\in\tau$ jest $n$ -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie $P(t_1,\ldots,t_n)$ jest formułą (tzw formuła atomową),
jeśli $\varphi,\psi$ są formułami oraz $*$ jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to $(\varphi*\psi)$ oraz $\neg \varphi$ są formułami,
jeśli $x i$ jest zmienną oraz $\varphi$ jest formułą, to także $(\exists x_i)(\varphi)$ i $(\forall x_i)(\varphi)$ są formułami.

[edytuj] Zmienne wolne w formule

W formułach postaci $(\exists x_i)(\varphi)$ i $(\forall x_i)(\varphi)$ mówimy że zmienna $x i$ znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł, rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły w których $(\exists x_i)(\varphi)$ czy też $(\forall x_i)(\varphi)$ pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej $x i$ w $\varphi$ (i mówimy że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane). Bardziej precyzyjnie:

każde wystąpienie zmiennej $x i$ w formule atomowej jest wolne,
jeśli $ψ$ to formuła postaci $(Q x i)(φ)$ , to każde wystąpienie zmiennej $x i$ w formule $ψ$ jest związane,
jeśli $\psi,\varphi$ to formuły i pewne wystąpienie zmiennej $x i$ w formule $ψ$ jest związane (wolne, odpowiednio), to wystąpienie to rozważane w formułach $\varphi*\psi$ , $\psi*\varphi$ oraz $\neg \psi$ także jest związane (wolne, odpowiednio; tutaj * jest binarnym spójnikiem zdaniowym).

Formuły w których nie ma wolnych występowań żadnych zmiennych są nazywane zdaniami (danego języka).

[edytuj] Przykłady

W praktyce, podobnie jak w rachunku zdań, gdy nie prowadzi to do niejasności, stosuje się zasadę opuszczania nawiasów.

Przykładami formuł języka ${\mathcal L}(\{\in\})$ teorii mnogości (czyli $\in$ jest binarnym symbolem relacyjnym) są:

$\forall A \forall B (\forall x (x\in A\iff x\in B)\Rightarrow A=B)$

$\exist P \forall Z (Z\in P \iff \forall x (x\in Z \Rightarrow x\in X))$

Przykładami formuł języka ${\mathcal L}(\{\star\})$ teorii grup (czyli $\star$ jest binarnym symbolem funkcyjnym) są:

$(\forall x_1\in G)((x_1 \star x_2) \star x_3 = x_1 \star (x_2 \star x_3))$ ,

$(\exists e \in G) (\forall a \in G)(e \star a = a)$ ,

$(\forall a \in G)(\exists b \in G)(b \star a = e)$ ,

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Logika matematyczna

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Jak były komisarz Warszawy zarobił 6 milionów złotych

PRZEGLĄD PRASY. W ciągu trzech lat z drugorzędnej funkcji sekretarza Warszawy został prezesem Ciechu i milionerem - "Dziennik" opisuje karierę byłego komisarza stolicy za rządów PiS Mirosława Kochalskiego.

"Nasz Dziennik": Miasto może zbankrutować

Upadek zakładów i gwałtowny wzrost bezrobocia w Stalowej Woli i okolicach - takie skutki w ocenie "Naszego Dziennika" przyniesie drastyczna podwyżka cen prądu dla zakładów przemysłowych działających w tamtejszej Specjalnej Strefie Ekonomicznej.

Będą namawiać emigrantów do powrotu

Władze Szczecina jadą dziś z misją specjalną do Wielkiej Brytanii. Przez weekend będą namawiać emigrantów z Polski, by osiedlili się na Pomorzu. Na podobną akcję zdecydowało się w sumie 12 polskich miast - pisze "Metro".

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Sześciolatki do szkoły? Stop!

Sześciolatki pójdą obowiązkowo do szkół dopiero w 2012 r. A miały już w 2009 r. MEN się upiera, że to lifting reformy

Wywozili dopalacze

Z centralnego magazynu firmy zaopatrującej sklepy z tzw. dopalaczami próbowano wczoraj wywieźć cały towar. Interweniowała policja.

BBN krytykuje zmiany w armii

Mam nadzieję, że prezydent zaakceptuje mój projekt reformy dowodzenia siłami zbrojnym - mówił wczoraj minister obrony Bogdan Klich. - Ten projekt to głupota - odpowiada Witold Waszczykowski z prezydenckiego BBN.

Nuncjusz Kowalczyk nadal lustrowany

Abp Józef Kowalczyk przekazał oficerowi wywiadu informację o różnicy zdań hierarchów na temat pielgrzymki Jana Pawła II do Polski w 1983 r. - twierdzi wczorajsza „Rzeczpospolita”.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Formuła logiczna

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rachunek zdań

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Rachunek kwantyfikatorów

[edytuj] Formalna definicja

[edytuj] Zmienne wolne w formule

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach