Filtr Kalmana

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Filtr Kalmana to algorytm rekurencyjnego wyznaczania minimalno-wariancyjnej estymaty wektora stanu modelu liniowego dyskretnego układu dynamicznego na podstawie pomiarów wyjścia tego układu. Przyjmuje się założenie, że zarówno pomiar, jak i proces przetwarzania wewnątrz układu jest obarczony błędem o rozkładzie gaussowskim.

Algorytm ten został zaproponowany w pracy Rudolfa Emila Kalmana "A new approach to linear filtering and prediction problems", opublikowanej na łamach czasopisma Journal of Basic Engineering w roku 1960.

Filtr Kalmana znalazł zastosowanie w ogromnej liczbie dziedzin techniki, do których należą m.in.: automatyka, robotyka, elektronika, teoria sterowania, przetwarzanie sygnałów, inżynieria dźwięku i obrazu, i wiele innych.

Spis treści

1 Równania liniowego dyskretnego modelu stanowego
2 Równania filtru
3 Przykłady zastosowań
4 Zobacz też

[edytuj] Równania liniowego dyskretnego modelu stanowego

Model obrazujący działanie filtru Kalmana. Okręgi to wektory, prostokąty to macierze, a gwiazdki reprezentują szum z przypisaną kowariancją w kwadracie po prawej stronie

Filtr Kalmana jest optymalnym obserwatorem stanu układu (czyli układem, który estymuje jego stan), który modelowany jest z użyciem równań stanu:

$\mathbf{x}(t+1)=\mathbf{Ax}(t)+\mathbf{Bu}(t)+\mathbf{v}(t)$

$\mathbf{y}(t)=\mathbf{C}^T\mathbf{x}(t)+\mathbf{w}(t)$ ,

gdzie

$t=\dots ,-1,0,1,2,\dots$ oznacza dyskretną chwilę czasu,

$\mathbf{x(t)}$ to chwilowa wartość wektora stanu,

$\mathbf{A}$ to macierz systemowa układu (macierz przejścia),

$\mathbf{B}$ to macierz wejściowa,

$\mathbf{C}$ macierz wyjściowa,

$\mathbf{v}(t)$ wektor szumu przetwarzania, a

$\mathbf{w}(t)$ to wektor szumu pomiarowego.

$\mathbf{y}(t)$ to wektor pomiarowy

[edytuj] Równania filtru

Równania filtru Kalmana dzielą się dwie kategorie: równania aktualizacji czasu i równania aktualizacji pomiarów. Te pierwsze dokonują predykcji stanu układu na chwilę t na podstawie znajomości estymaty stanu na chwilę t-1.

$\hat{\mathbf{x}}(t|t-1)=\mathbf{A\hat{x}}(t-1|t-1) + \mathbf{B\hat{u}}(t-1)$

$\mathbf{P}(t|t-1) = \mathbf{AP}(t-1|t-1)\mathbf{A}^T+\mathbf{V}$

Wektory

$\hat{\mathbf{x}}(t|t-1)$ i $\hat{\mathbf{x}}(t-1|t-1)$

stanowią estymaty a priori (przed pomiarem) i a posteriori (po pomiarze) wektora stanu. Macierze

$\mathbf{P}(t|t-1)=E\left[ \tilde{\mathbf{x}}(t|t-1) \tilde{\mathbf{x}}^T(t|t-1)\right]$ i $\mathbf{P}(t-1|t-1)=E\left[ \tilde{\mathbf{x}}(t-1|t-1)\tilde{\mathbf{x}}^T(t-1|t-1)\right]$

to macierze kowariancji, odpowiednio: a priori i a posteriori, wektorów

$\tilde{\mathbf{x}}(t|t-1) = \mathbf{x}(t) - \mathbf{\hat{x}}(t|t-1)$ oraz $\tilde{\mathbf{x}}(t-1|t-1) = \mathbf{x}(t-1) - \mathbf{\hat{x}}(t-1|t-1)$ .

Wektory te stanowią różnicę pomiędzy rzeczywistą wartością wektora stanu, a jego estymatą i są miarą błędu oceny wektora stanu. Macierz

$\mathbf{V}$ to macierz kowariancji szumu przetwarzania.

Równania z drugiej kategorii aktualizują wyliczoną wcześniej predykcję stanu, na podstawie pomiaru

$\hat{\mathbf{x}}(t|t)=\mathbf{\hat{x}}(t|t-1)+\mathbf{K}(t)\mathbf{e}(t)$

$\mathbf{e}(t) = \mathbf{y}(t) - \mathbf{C}^T\mathbf{\hat{x}}(t|t-1)$

$\mathbf{K}(t) = \mathbf{P}(t|t-1)\mathbf{C}^T\mathbf{S}^{-1}(t)$

$\mathbf{S}(t) = \mathbf{C}^T\mathbf{P}(t|t-1)\mathbf{C}^T+\mathbf{W}$

$\mathbf{P}(t|t) = \mathbf{P}(t|t-1) - \mathbf{K}(t)\mathbf{S}(t)\mathbf{K}^T(t)$

Macierz

$\mathbf{K}(t)$

nosi nazwę wzmocnienia Kalmana. Wartość wzmocnienia Kalmana decyduje o tym, czy bardziej "ufamy" naszej ocenie stanu (a priori), czy informacji zawartej w pomiarach. Zerowe wzmocnienie oznacza, że zupełnie ignorujemy pomiary - są obarczone nieskończenie wielkim błędem (wariancja szumu pomiarowego jest nieskończona). Wzmocnienie równe $\left(\mathbf{C}^T\right)^{-1}(t)$ (jeżeli macierz $\mathbf{C}^T(t)$ jest kwadratowa) powoduje, że estymata a posteriori wektora stanu opierać się będzie wyłącznie na pomiarze wyjścia układu. Wektor

$\mathbf{e}(t)$

to wektor innowacyjny. Nazwany został tak dlatego, że jego wartość niesie ze sobą nową (opartą na najnowszych pomiarach) informację o procesie. Macierz

$\mathbf{W}$

to macierz kowariancji szumu pomiarowego.

Równania filtru Kalmana nie zmieniają swojej postaci w przypadku, gdy układ jest niestacjonarny. Jest to jedna z jego podstawowych zalet w stosunku do wcześniejszego filtru Wienera.

[edytuj] Przykłady zastosowań

Śledzenie obiektów na podstawie pomiarów z radaru
Symultaniczna lokalizacja i mapowanie (SLAM)
Autopilot
Usuwanie szumu z nagrań mowy

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Automatyka • Algorytmy w robotyce • Modelowanie statystyczne • Teoria estymacji • Modelowanie numeryczne klimatu i pogody

Stasiak: Zróbmy sobie sami gazoport

Szef Biura Bezpieczeństwa Narodowego uważa, dla zapewnienia bezpieczeństwa energetycznego Polski niezbędna jest budowa gazoportu. Władysław Stasiak, który był gościem Sygnałów Dnia jest zdania, że Sejm powinien przyjąć specjalną ustawę, która pozwoli na przyspieszenie budowy terminala.

Jak były komisarz Warszawy zarobił 6 milionów złotych

PRZEGLĄD PRASY. W ciągu trzech lat z drugorzędnej funkcji sekretarza Warszawy został prezesem Ciechu i milionerem - "Dziennik" opisuje karierę byłego komisarza stolicy za rządów PiS Mirosława Kochalskiego.

"Nasz Dziennik": Miasto może zbankrutować

Upadek zakładów i gwałtowny wzrost bezrobocia w Stalowej Woli i okolicach - takie skutki w ocenie "Naszego Dziennika" przyniesie drastyczna podwyżka cen prądu dla zakładów przemysłowych działających w tamtejszej Specjalnej Strefie Ekonomicznej.

Będą namawiać emigrantów do powrotu

Władze Szczecina jadą dziś z misją specjalną do Wielkiej Brytanii. Przez weekend będą namawiać emigrantów z Polski, by osiedlili się na Pomorzu. Na podobną akcję zdecydowało się w sumie 12 polskich miast - pisze "Metro".

Prezydent wbija klin między Tuska i Pawlaka

Problemy w koalicji. PO przekłada głosowanie nad prezydenckim wetem do ustawy o Krajowej Szkole Sądownictwa i Prokuratury, bo PSL bierze stronę Lecha Kaczyńskiego

Mniejszy klub PiS

Poseł Andrzej Walkowiak opuścił klub PiS i przeszedł do założonego przez b. posłów PiS koła Polska XXI.

Sześciolatki do szkoły? Stop!

Sześciolatki pójdą obowiązkowo do szkół dopiero w 2012 r. A miały już w 2009 r. MEN się upiera, że to lifting reformy

Wywozili dopalacze

Z centralnego magazynu firmy zaopatrującej sklepy z tzw. dopalaczami próbowano wczoraj wywieźć cały towar. Interweniowała policja.

BBN krytykuje zmiany w armii

Mam nadzieję, że prezydent zaakceptuje mój projekt reformy dowodzenia siłami zbrojnym - mówił wczoraj minister obrony Bogdan Klich. - Ten projekt to głupota - odpowiada Witold Waszczykowski z prezydenckiego BBN.

Nuncjusz Kowalczyk nadal lustrowany

Abp Józef Kowalczyk przekazał oficerowi wywiadu informację o różnicy zdań hierarchów na temat pielgrzymki Jana Pawła II do Polski w 1983 r. - twierdzi wczorajsza „Rzeczpospolita”.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Filtr Kalmana

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Równania liniowego dyskretnego modelu stanowego

[edytuj] Równania filtru

[edytuj] Przykłady zastosowań

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach