Droga (topologia)

Z Wikipedii

Droga – w topologii, ciągłe przekształcenie z przedziału jednostkowego w przestrzeń topologiczną. Pętlą nazywa się drogę, której początek i koniec pokrywają się. Ich parametr, szczególnie przy homotopiach, nazywa się niekiedy czasem.

[edytuj] Definicja

Niech oraz niech X będzie przestrzenią topologiczną. Drogą nazywamy ciągłe przekształcenie .

Punktem początkowym drogi jest f(0), a końcowym f(1). Często mówi się o „drodze z x do y”, co oczywiście oznacza, że punkty te są odpowiednio początkowym i końcowym danej drogi.

Pętlą zaczepioną w nazywa się drogę z x do x. Równoważnie można określić ją jako drogę taką, że α(0) = α(1) lub jako ciągłe odwzorowanie okręgu jednostkowego w przestrzeń, czyli . Ostatnia równoważność wynika z tego, że może być rozważane jako przestrzeń ilorazowa I z utożsamionymi punktami 0 i 1.

Zbiór pętli w X zaczepionych w a nazywamy przestrzenią pętli i oznaczamy symbolem Ω(X).

[edytuj] Łukowa spójność

Przestrzeń topologiczna, w której dla jej dowolnych dwóch punktów istnieje droga je łącząca nazywa się łukowo spójną. Każda przestrzeń X może zostać rozbita na zbiór łukowo spójnych składowych, który oznaczany jest często π₀(X).

[edytuj] Uwagi

Należy pamiętać, że droga nie jest tym samym co jej obraz. Oznacza to, że nie jest tylko podzbiorem X, który wygląda jak krzywa, ale przede wszystkim odwzorowaniem z daną parametryzacją. Przykładem mogą być odwzorowania f(x) = x oraz g(x) = x² będące dwiema różnymi drogami z 0 do 1 na prostej rzeczywistej.

[edytuj] Przestrzenie z wyróżnionym punktem

Można także badać drogi i pętli w przestrzeniach topologicznych z wyróżnionym punktem, które są ważnymi obiektami w teorii homotopii. Niech (X,a) będzie taką przestrzenią, drogą w (X,a) nazywa się te drogi w X, których punktem początkowym jest a. Analogicznie pętlą w (X,a) nazywa się pętle zaczepione w a.

[edytuj] Homotopia

Homotopia dróg i pętli jest niezwykle ważnym środkiem badawczym w dziale topologii algebraicznej nazywanym teorią homotopii. Homotopia między drogami jest uściśleniem intuicji ciągłej deformacji drogi w jednostce czasu (którą jest przedział jednostkowy I) przy zachowaniu jej punktów końcowych.

Homotopia między pętlami zaczepionymi we wspólnym punkcie pozwala przyporządkować przestrzeni topologicznej z wyróżnionym punktem grupę podstawową. Okazuje się, że jeżeli wspomniana przestrzeń jest łukowo spójna, to wybór punktu zaczepienia jest nieistotny.

[edytuj] Drogi

Homotopią dróg z a do b w X nazywamy rodzinę dróg taką, że

• f_t(0) = a i f_t(1) = b są stałe,
• odwzorowanie dane wzorem F(s,t) = f_t(s) jest ciągłe.

[edytuj] Pętle

Homotopią pętli nazywamy homotopię łączącą α oraz β spełniającą warunek H(0,t) = H(1,t) = a dla .

Dla powyższej homotopii każda droga α_t(s) = H(s,t) jest pętlą w X zaczepioną w a. Należy pamiętać, że na homotopię pętli nakłada się dodatkowy warunek: mianowicie aby punkt zaczepienia a nie ulegał przesunięciu.

[edytuj] Równoważność

Drogi i pętle między którymi zachodzi homotopia, nazywa się homotopijnymi. Podobnie jak homotopia dowolnych przekształceń, homotopie dróg w Ω(X) i pętli w Ω(X,a) są relacjami równoważności. Klasa równoważności drogi f tej relacji nazywana jest klasą homotopii i oznaczana często [f].

[edytuj] Składanie

Załóżmy, że f jest drogą z x do y, zaś g z y do z. Złożeniem dróg f i g nazywamy drogę zdefiniowaną jako uprzednie przejście po f, a następnie po g:

.

Jeżeli rozważymy wszystkie pętle zaczepione w a, to złożenie dróg staje się działaniem dwuargumentowym. Złożenie dróg nie jest łączne z powodu różnic w parametryzacjach, jednakże jest łączne na poziomie homotopii, tj. .

[edytuj] Grupa podstawowa

Składanie dróg określa na zbiorze klas homotopii pętli zaczepionych we wspólnym punkcie a strukturę grupy, nazywanej grupą podstawową i oznaczaną π₁(X,a).

[edytuj] Bibliografia

• S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• homotopia,
• grupa podstawowa
• Krzywa.

Ochroniarze wyganiają bezdomnych paralizatorami na mróz

Ochroniarze z wrocławskiego Dworca Głównego przeganiają koczujących tam bezdomnych na dwudziestostopniowy mróz - informuje "Gazeta Wyborcza". Na opornych mają pałki, gaz i paralizatory.

Sklep z dopalaczami znowu otwarty

Sklep w centrum Warszawy, w którym można kupić substancje w działaniu przypominające narkotyki, znów działa. - To dopiero początek kontroli - zapewnia Urząd Kontroli Skarbowej

Lech Kaczyński rozmawiał z prezydentem Autonomii Palestyńskiej

Lech Kaczyński rozmawiał z prezydentem Autonomii Palestyńskiej Mahmudem Abbasem. Telefoniczna rozmowa przywódców dotyczyła konfliktu w Strefie Gazy - poinformowała prezydencka kancelaria na swojej stronie internetowej.

Tusk: W najbliższych dniach dojdzie do rozwiązania problemu

- Kwestia bezpieczeństwa energetyczne powinna w Unii Europejskiej przejść z etapu deklaracji do czynów; obecny kryzys gazowy pokazuje, że to konieczność - ocenił premier Donald Tusk dziś w Bratysławie po spotkaniu szefów rządów państw Grupy Wyszehradzkiej.

Napad z bronią na bank w Tarchominie

Uzbrojony mężczyzna obrabował bank spółdzielczy w Tarchominie. Sterroryzował pracowników, zabrał pieniądze i oddalił się z łupem.

Polscy obserwatorzy rozwiążą gazowy kryzys?

Rosja nie zgodziła się na misję Unii Europejskiej, która miała zakończyć spór o dostawę gazu na Zachód przez terytorium Ukrainy. Jak się dowiedział portal Gazeta.pl, już ustalono, że w misji mieli wziąć udział m.in. polscy eksperci. Misja jest jednym z warunków, jakie Rosja postawiła przed wznowieniem tranzytu gazu na Zachód. Przy sprzeciwie Moskwy, nie wiadomo, czy eksperci zakończą gazowy kryzys.

Policja postrzeliła ściganego

Dzisiaj tuż przed godz. 17, łódzcy policjanci postrzelili mężczyznę ściganego listem gończym.

Klich: Nowy model dowództwa wymaga zmiany w konstytucji

Proponowany nowy model dowodzenia i kierowania wojskiem, przewidujący m.in. nowe stanowisko szefa obrony, wymaga niewielkiej zmiany w konstytucji - powiedział minister obrony Bogdan Klich.

Tuż przed wylotem do Pragi prezydent spotkał się z Pawlakiem

Prezydent Lech Kaczyński spotkał się, tuż przed wylotem do czeskiej Pragi, z wicepremierem i ministrem gospodarki Waldemarem Pawlakiem w sprawie kryzysu gazowego.

Złożył pozew o ochronę dóbr osobistych przeciw Zbigniewowi Ziobrze

Pozew przeciwko byłemu ministrowi sprawiedliwości Zbigniewowi Ziobrze o ochronę dóbr osobistych złożył w krakowskim sądzie okręgowym poseł SLD w latach 1993-1997, Ryszard Zając.