Dowód (matematyka)

Z Wikipedii

Dowód to w matematyce wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie nie spełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść) lub podobnym.

[edytuj] Metody dowodu

O ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach:

• Dowód wprost polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci 2k, gdzie k jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi 2k + 2l = 2(k + l), co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
• Dowód nie wprost (dowód apagogiczny) polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być dowód niewymierności pierwiastka z dwóch: załóżmy, że jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
• Dowód kombinatoryczny to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla zachodzi . Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać k spośród n osób. Możemy to zrobić na sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem , c.n.d.

• Dowód geometryczny polega na wykorzystaniu metod geometrii, takich jak przystawanie i podobieństwo figur. Dowody geometryczne mogą być wykorzystywane również poza geometrią (patrz geometryczny dowód niewymierności pierwiastka z 2)
• Dowód indukcyjny to dowód wykorzystujący zasadę indukcji matematycznej.
• Metoda przekątniowa to rodzaj rozumowania używany w dowodach, że nie istnieje pewien obiekt. Przykłady twierdzeń, które można udowodnić w ten sposób: zbiór liczb rzeczywistych nie jest przeliczalny, twierdzenie Cantora, nierozwiązywalność problemu stopu.
• Użycie wspomagania komputerowego, np. dowód twierdzenia o czterech barwach. Takie dowody wzbudzają kontrowersje, gdyż niemożliwe jest zweryfikowanie ich przez człowieka. Innym przykładem użycia komputerów jest rozproszony projekt Seventeen or Bust sprawdzający potencjalnych kandydatów na liczby Sierpińskiego.
• Dowód niezależności to dowód, że pewnego zdania nie można udowodnić. Przykładem jest dowód niezależności hipotezy continuum, wykorzystujący forsing.
• Dowód konstruktywny to dowód polegający na znalezieniu pewnego obiektu spełniającego wymagane założenia. Przykład: aby udowodnić, że wielomian x³ − 8 ma pierwiastek rzeczywisty, wystarczy zauważyć, że jest nim liczba 2. Aby udowodnić, że każdy graf spójny zawierający co najwyżej dwa wierzchołki stopnia nieparzystego ma drogę Eulera, można podać algorytm znajdujący ją.
• Dowód niekonstruktywny to dowód polegający na wykazaniu, że istnieje obiekt spełniający założenia, jednak bez konstrukcji. Przykład: aby udowodnić, że wielomian x³ − 8 ma pierwiastek rzeczywisty, zauważmy, że przyjmuje on wartość ujemną dla x = 0 i dodatnią dla x = 100. Ponieważ y = x³ − 8 jest funkcją ciągłą, z twierdzenia Cauchy'ego wynika, że wielomian ma miejsce zerowe w przedziale (0,100). Innym przykładem jest wykorzystanie zasady szufladkowej Dirichleta.
• Dowód nieefektywny to dowód wykorzystujący aksjomat wyboru.

W złożonych, wielostopniowych dowodach wykorzystuje się twierdzenia pomocniczne, tzw. lematy.

[edytuj] Dowód formalny

W teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego dowodu formalnego, który jest skończonym ciągiem wyrażeń ustalonego języka sformalizowanego, takim że dla każdego i=1,...,n: p_i jest aksjomatem lub p_i jest wnioskiem z przesłanek p_j, p_k (gdzie j,k<i) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły dedukcyjnej.

Jeżeli dany ciąg p₁, p₂,..., p_n jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów A, to mówi się, że jest to dowód formalny dla p_n z A oraz że p_n da się dowieść z A.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• automatyczne dowodzenie twierdzeń
• teoria dowodu
• dowód formuły zdaniowej w oparciu o zbiór aksjomatów klasycznego rachunku predykatów.

Kaczyński: Była ciekawa wymiana opinii z Klausem

- Rozmowa z Vaclavem Klausem była bardzo ciekawa - powiedział Lech Kaczyński po spotkaniu z prezydentem Czech. Klaus przekonywał z kolei, że sprawa kryzysu gazowego będzie "w miarę szybko rozwiązana". - Załatwimy to w ciągu kilku dni - zapewnił.

Ochroniarze wyganiają bezdomnych paralizatorami na mróz

Ochroniarze z wrocławskiego Dworca Głównego przeganiają koczujących tam bezdomnych na dwudziestostopniowy mróz - informuje "Gazeta Wyborcza". Na opornych mają pałki, gaz i paralizatory.

Sklep z dopalaczami znowu otwarty

Sklep w centrum Warszawy, w którym można kupić substancje w działaniu przypominające narkotyki, znów działa. - To dopiero początek kontroli - zapewnia Urząd Kontroli Skarbowej

Lech Kaczyński rozmawiał z prezydentem Autonomii Palestyńskiej

Lech Kaczyński rozmawiał z prezydentem Autonomii Palestyńskiej Mahmudem Abbasem. Telefoniczna rozmowa przywódców dotyczyła konfliktu w Strefie Gazy - poinformowała prezydencka kancelaria na swojej stronie internetowej.

Tusk: W najbliższych dniach dojdzie do rozwiązania problemu

- Kwestia bezpieczeństwa energetyczne powinna w Unii Europejskiej przejść z etapu deklaracji do czynów; obecny kryzys gazowy pokazuje, że to konieczność - ocenił premier Donald Tusk dziś w Bratysławie po spotkaniu szefów rządów państw Grupy Wyszehradzkiej.

Napad z bronią na bank w Tarchominie

Uzbrojony mężczyzna obrabował bank spółdzielczy w Tarchominie. Sterroryzował pracowników, zabrał pieniądze i oddalił się z łupem.

Polscy obserwatorzy rozwiążą gazowy kryzys?

Rosja nie zgodziła się na misję Unii Europejskiej, która miała zakończyć spór o dostawę gazu na Zachód przez terytorium Ukrainy. Jak się dowiedział portal Gazeta.pl, już ustalono, że w misji mieli wziąć udział m.in. polscy eksperci. Misja jest jednym z warunków, jakie Rosja postawiła przed wznowieniem tranzytu gazu na Zachód. Przy sprzeciwie Moskwy, nie wiadomo, czy eksperci zakończą gazowy kryzys.

Policja postrzeliła ściganego

Dzisiaj tuż przed godz. 17, łódzcy policjanci postrzelili mężczyznę ściganego listem gończym.

Klich: Nowy model dowództwa wymaga zmiany w konstytucji

Proponowany nowy model dowodzenia i kierowania wojskiem, przewidujący m.in. nowe stanowisko szefa obrony, wymaga niewielkiej zmiany w konstytucji - powiedział minister obrony Bogdan Klich.

Tuż przed wylotem do Pragi prezydent spotkał się z Pawlakiem

Prezydent Lech Kaczyński spotkał się, tuż przed wylotem do czeskiej Pragi, z wicepremierem i ministrem gospodarki Waldemarem Pawlakiem w sprawie kryzysu gazowego.