Dopełnienie zbioru

Z Wikipedii

Diagram Venna: A^c jest dopełnieniem

A

względem U.

Dopełnienie zbioru – dla danego zbioru zbiór elementów pewnego ustalonego jego nadzbioru, które do niego nie należą. W starszych pozycjach^[1] można spotkać się z nazwą uzupełnienie zbioru.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Przypisy
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech dany będzie zbiór $U$ , zywany dalej przestrzenią, zbiorem uniwersalnym lub uniwersum, oraz jego podzbiór $A \subseteq U$ . Dopełnieniem zbioru $A$ w $U$ nazywa się różnicę

$U \setminus A = \{x \in U\colon x \notin A\}$ ,

oznaczaną zwykle symbolami $A^\operatorname c$ lub $A^\prime$ , a w starszych pozycjach także $\complement_U A$ lub, jeśli $U$ jest znane, krótko $\complement A$ .

Niekiedy spotyka się również oznaczenie $- A$ , jednak jeżeli $A$ jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to $- A$ może oznaczać wtedy $\{-a\colon a \in A\}$ .

[edytuj] Własności

Dla dowolnego uniwersum $U$ prawdziwe są równości

$\varnothing^\operatorname c = U, \quad U^\operatorname c = \varnothing$ .

Dla ustalonego $U$ i dowolnego $A \subseteq U$ zachodzi

$(A^\operatorname c)^\operatorname c = A$ ,

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

$A \cap A^\operatorname c = \varnothing$ ,

a ich suma daje całe uniwersum,

$A \cup A^\operatorname c = U$ ,

co oznacza, że $\{A, A^\operatorname c\}$ jest rozbiciem zbioru $U$ .

Dla danych $A, B \subseteq U$ zachodzą prawa

$(A \cup B)^\operatorname c = A^\operatorname c \cap B^\operatorname c$ ,

$(A \cap B)^\operatorname c = A^\operatorname c \cup B^\operatorname c$ ,

znane jako prawa de Morgana^[2]. Dodatkowo

$B = A^\operatorname c$ pociąga $B^\operatorname c = A$ .

[edytuj] Przykłady

Dopełnieniem zbioru ${1,2}$ w zbiorze ${1,2,3}$ jest zbiór ${3}$ .
Dopełnieniem zbioru ${1,2,3}$ w zbiorze ${1,2}$ jest zbiór pusty $\varnothing$ .
Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.

Dopełnieniem zbioru ${0,1,2}$ w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od $2$ , natomiast w przestrzeni ${ - 1,0,1,2,3,4,5}$ jest to zbiór ${ - 1,0,3,4,5}$ .

Przypisy

↑ np. w K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości
↑ Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana. A. Mostowski, Logika matematyczna, s. 100

[edytuj] Bibliografia

Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 30.12.2008r.].
Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, ss. 96-97, 100. [dostęp 30.12.2008r.].

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

Kategoria: Teoria mnogości

Nowak: nazwiskiem Sikorskiego nie można żonglować

Rząd zgłosi kandydaturę Radosława Sikorskiego na sekretarza generalnego NATO tylko wtedy, kiedy będzie miał pewność powodzenia jego kandydatury. - Powinniśmy zabiegać, ale po cichu - uważa Sławomir Nowak.

J.Kaczyński: PiS przedstawi propozycje w sprawie kryzysu

- Prawo i Sprawiedliwość przedstawi w czwartek propozycje dotyczące działań w czasie kryzysu gospodarczego - zapowiedział w radiowej "Trójce" prezes PiS Jarosław Kaczyński. "Co uczynić, aby Polska gospodarka ucierpiała możliwie jak najmniej" - dodał.

Z klubu PiS odszedł kolejny poseł

Andrzej Walkowiak, poseł z Bydgoszczy, przeszedł z sejmowego klubu PiS do koła Polska XXI - podało Radio Zet.

Kurski: Kryzys gazowy, a Tusk w Dolomitach. Kompromitacja

- Jest jedna wielka kompromitacja, bo kiedy dzieją się te napięcia gazowe, gdzie pan premier Donald Tusk? Na nartach w Dolomitach! - oburzał się w "Kontrwywiadzie" RMF poseł PiS Jacek Kurski. W radiu ZET premiera bronił szef jego gabinetu politycznego: - Trzy dni urlopu trudno uznać za jakieś szałowe wakacje - mówił Sławomir Nowak.

Wywiad z Sikorskim: Nie zaostrzać dyskursu z Rosją

W wywiadzie dla "Gazety Wyborczej" Radosław Sikorski, minister spraw zagranicznych, mówi o zaangażowaniu Unii Europejskiej w gazowy konflikt między Rosją i Ukrainą oraz o realizacji energetycznych celów Polski we Wspólnocie. Ujawnia też, że Ukraina przegapiła szansę na otrzymanie planu na rzecz członkostwa w NATO.

Śliski poranek: wypadki na drogach

Odblokowana jest już droga krajowa nr 10 przy wjeździe na obwodnicę Torunia w Lubiczu, gdzie zderzyły się cztery samochody. Jedna osoba została ranna. W Małopolsce autobus z górnikami wjechał w drzewo.

Gehenna z meldunkiem przejdzie do lamusa?

Zamiast obowiązku meldunkowego wprowadzimy uproszczone formalności; zarejestrowania pobytu będzie można dokonać drogą elektroniczną - mówi w wywiadzie dla "Gazety Prawnej" wiceminister SWiA Witold Drożdż.

Farfał: zmiana w TVP nie była zaaranżowana

Nowy szef TVP Piotr Farfał zapewnia w "Dzienniku", że pochodzące z PiS sugestie, iż zmiana zarządu telewizji publicznej była zaaranżowana w budynkach ministerialnych, jest nieprawdziwa.

Abp Kowalczyk i o. Hejmo mieli jednego opiekuna?

Dzisiejszy nuncjusz apostolski w Polsce apb Józef Kowalczyk, którego tajne służby PRL zarejestrowały bez jego wiedzy jako kontakt informacyjny, przekazywał informacje temu samemu rezydentowi wywiadu co ojciec Konrad Hejmo - donosi „Rzeczpospolita".

Tomasz Nałęcz wraca do polityki

Tomasz Nałęcz przyjął zaproszenie na inauguracyjne spotkanie koalicji SdPl - PD - Zieloni firmowanej przez Dariusza Rosatiego, Janusza Onyszkiewicza i Marka Borowskiego. - Zgodził się uczestniczyć w budowie nowej centrolewicy - twierdzą organizatorzy.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Dopełnienie zbioru

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach