Twoje źródło wiadomości i informacji!

Poznaj już dzisiaj odpowiedzi na wszystkie pytania!

Delta Diraca

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Wykres funkcji delta Diraca. Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x0 = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.

Delta Diraca – dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany jako:

\delta(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a F(s) = 1 i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

Spis treści

[edytuj] Reprezentacje

[edytuj] Funkcja impulsowa

Funkcja schodkowa Heaviside'a. Zastosowano "konwencję połowy maksimum", z x0 = 0

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) δ to, mówiąc intuicyjnie, obiekt matematyczny o następujących własnościach:

\delta(x) = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}

Ponadto wartość całki wynosi:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} {\delta (x)dx} = 1.

Mimo sugestywnej i użytecznej notacji δ(x) należy podkreślić, że nie jest to funkcja o wartościach rzeczywistych. Matematycznie określamy deltę Diraca jako miarę albo jako dystrybucję, czyli funkcjonał liniowy określony na odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej.

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

[edytuj] Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji \mathbb R^2 \ni (t,h)\mapsto f(t,h)\in \mathbb R:

\delta (t)=\lim_{h\to 0}f(t,h)

gdzie f(t,h) może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

  • f(t,h)=\begin{cases} \frac{1}{h} & \mbox{dla }-h/2<t<h/2 \\ 0 & \mbox{dla } t\le -h/2 \mbox{ lub } t\ge h/2 \end{cases}
  • f(t,h)= \frac{1}{h\sqrt \pi}e^{ -t^2/h^2},
  • f(t,h)= \frac{h/\pi}{t^2+h^2} .

[edytuj] Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze to:

  • \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x - a ) \, dx = f(a) ,
  • \int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) \, \delta(x-b) \, dx = \delta(a-b),
  • δ( − x) = δ(x),
  • \delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x) ,
  • \delta(x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2|a|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x+a) \right] .

[edytuj] Zobacz też

Gehenna z meldunkiem przejdzie do lamusa?

Zamiast obowiązku meldunkowego wprowadzimy uproszczone formalności; zarejestrowania pobytu będzie można dokonać drogą elektroniczną - mówi w wywiadzie dla "Gazety Prawnej" wiceminister SWiA Witold Drożdż.

Farfał: zmiana w TVP nie była zaaranżowana

Nowy szef TVP Piotr Farfał zapewnia w "Dzienniku", że pochodzące z PiS sugestie, iż zmiana zarządu telewizji publicznej była zaaranżowana w budynkach ministerialnych, jest nieprawdziwa.

Abp Kowalczyk i o. Hejmo mieli jednego opiekuna?

Dzisiejszy nuncjusz apostolski w Polsce apb Józef Kowalczyk, którego tajne służby PRL zarejestrowały bez jego wiedzy jako kontakt informacyjny, przekazywał informacje temu samemu rezydentowi wywiadu co ojciec Konrad Hejmo - donosi „Rzeczpospolita".

Tomasz Nałęcz wraca do polityki

Tomasz Nałęcz przyjął zaproszenie na inauguracyjne spotkanie koalicji SdPl - PD - Zieloni firmowanej przez Dariusza Rosatiego, Janusza Onyszkiewicza i Marka Borowskiego. - Zgodził się uczestniczyć w budowie nowej centrolewicy - twierdzą organizatorzy.

Rehabilitacja kokainisty przyszła i niepewna

Artur P., były doradca ds. sportu u prezydenta Lecha Kaczyńskiego podejrzany o handel kokainą, nie wróci na razie do pracy w kancelarii, o co walczył przed warszawskim sądem.

Jak CBA odkryło Amerykę

CBA wykryło aferę korupcyjną w kopalni w Bogdance. Zrobiło to pięć lat po prokuraturze

W bitwie o szkło lepszy Kamiński

Prezydencki minister Michał Kamiński wypchnął z telewizji Piotra Kownackiego. Według raportu Instytutu Monitorowania Mediów w grudniu Kamiński wypowiadał się w głównych telewizyjnych serwisach informacyjnych przeszło dwa razy częściej.

Sześciolatki w szkołach w 2012 r. To ich prawo, nie obowiązek

Platforma zgłosiła wczoraj przełomową poprawkę do rządowego projektu obniżenia wieku szkolnego. Chce zapisać, że do 2012 r. sześcioletnie dzieci będą „miały prawo”, a nie „obowiązek” pójść do pierwszej klasy.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.
Gehenna z meldunkiem przejdzie do lamusa?

Zamiast obowiązku meldunkowego wprowadzimy uproszczone formalności; zarejestrowania pobytu będzie można dokonać drogą elektroniczną - mówi w wywiadzie dla "Gazety Prawnej" wiceminister SWiA Witold Drożdż.

Farfał: zmiana w TVP nie była zaaranżowana

Nowy szef TVP Piotr Farfał zapewnia w "Dzienniku", że pochodzące z PiS sugestie, iż zmiana zarządu telewizji publicznej była zaaranżowana w budynkach ministerialnych, jest nieprawdziwa.

Abp Kowalczyk i o. Hejmo mieli jednego opiekuna?

Dzisiejszy nuncjusz apostolski w Polsce apb Józef Kowalczyk, którego tajne służby PRL zarejestrowały bez jego wiedzy jako kontakt informacyjny, przekazywał informacje temu samemu rezydentowi wywiadu co ojciec Konrad Hejmo - donosi „Rzeczpospolita".

Tomasz Nałęcz wraca do polityki

Tomasz Nałęcz przyjął zaproszenie na inauguracyjne spotkanie koalicji SdPl - PD - Zieloni firmowanej przez Dariusza Rosatiego, Janusza Onyszkiewicza i Marka Borowskiego. - Zgodził się uczestniczyć w budowie nowej centrolewicy - twierdzą organizatorzy.

Rehabilitacja kokainisty przyszła i niepewna

Artur P., były doradca ds. sportu u prezydenta Lecha Kaczyńskiego podejrzany o handel kokainą, nie wróci na razie do pracy w kancelarii, o co walczył przed warszawskim sądem.

Jak CBA odkryło Amerykę

CBA wykryło aferę korupcyjną w kopalni w Bogdance. Zrobiło to pięć lat po prokuraturze

W bitwie o szkło lepszy Kamiński

Prezydencki minister Michał Kamiński wypchnął z telewizji Piotra Kownackiego. Według raportu Instytutu Monitorowania Mediów w grudniu Kamiński wypowiadał się w głównych telewizyjnych serwisach informacyjnych przeszło dwa razy częściej.

Sześciolatki w szkołach w 2012 r. To ich prawo, nie obowiązek

Platforma zgłosiła wczoraj przełomową poprawkę do rządowego projektu obniżenia wieku szkolnego. Chce zapisać, że do 2012 r. sześcioletnie dzieci będą „miały prawo”, a nie „obowiązek” pójść do pierwszej klasy.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Czujesz że przedstawione tutaj informacje były przydatne?

Prześlij link do serwisu www.thepostcardproject.com Twoim dobrym znajomym i przyjaciołom - na pewno nie pożałują!