Podłoga i sufit

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Podłoga i sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.

Spis treści

1 Definicja
2 Przykłady
3 Nazwy
4 Własności
5 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Podłoga (część całkowita, cecha, entier) liczby rzeczywistej $x$ , oznaczana $\lfloor x \rfloor$ , $[x]$ , $\operatorname{E}(x)$ lub $\operatorname{Ent}(x)$ to największa liczba całkowita nie większa od $x$ . Symbolicznie:

$\lfloor x \rfloor = \max\{k \in \mathbb Z\colon k \leqslant x \}$

Natomiast sufit (powała) liczby rzeczywistej $x$ to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od $x$ . Liczbę tę oznaczamy symbolem $\lceil x \rceil$ . Symbolicznie:

$\lceil x \rceil = \min\{k \in \mathbb Z\colon k \geqslant x\}$

Częścią ułamkową (mantysą) liczby rzeczywistej $x$ nazywa się liczbę $x - \lfloor x \rfloor$ . Oznacza się ją ${x}$

$\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$

[edytuj] Przykłady

$\lfloor 2,9 \rfloor = 2, \quad \lfloor -2 \rfloor = -2, \quad \lfloor -2,1 \rfloor = -3$ .

$\lceil 0 \rceil = 0, \quad \lceil 0,3 \rceil = 1, \quad \lceil -0,8 \rceil = 0, \quad \lceil -3,4 \rceil = -3$ .

$\{2,567\} = 0,567, \quad \{-4,23\} = 0,77$ .

[edytuj] Nazwy

Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te obrazowane są tradycyjnie za pomocą oznaczeń $[ \cdot ], \{ \cdot \}, \operatorname{Ent}, \operatorname{E}$ .

Nazwy przytoczone w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie $\lfloor \cdot \rfloor$ dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do powały oznaczanej $\lceil \cdot \rceil$ . Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami angielskich nazw, odpowiednio: floor dla podłogi oraz ceiling dla sufitu. Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor, druga zaś do ceil tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.

[edytuj] Własności

[edytuj] Podłoga i sufit

Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:

$\lfloor x \rfloor \leqslant x < \lfloor x \rfloor + 1$

$\lceil x \rceil - 1 < x \leqslant \lceil x \rceil$

Ponadto

$\lfloor x \rfloor \leqslant x \leqslant \lceil x \rceil$

przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:

$\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1$

Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.

Wykres funkcji podłoga

Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:

$x \leqslant y \implies \lfloor x \rfloor \leqslant \lfloor y \rfloor$ ,

$x \leqslant y \implies \lceil x \rceil \leqslant \lceil y \rceil$ .

Ponadto:

$\lfloor x+y \rfloor \geqslant \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor$ ,
$\lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x \rfloor$ dla dowolnego $k \in \mathbb Z$ .

[edytuj] Część ułamkowa

Część ułamkowa należy zawsze do przedziału $\langle0;1)$ :

$0 \leqslant \{x\} < 1$ .

Wykres mantysy

Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako $x \mod 1$ , gdzie $\mod$ jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.

Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $t 0 = 1$ .

Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:

$\lim_{n \to \infty}{1\over n}\sum_{k=1}^n f(\{ka\}) =\int\limits_0^1 f(t)\,dt$

o ile funkcja $f$ jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.

Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.

[edytuj] Cecha i mantysa logarytmu (dziesiętnego)

Cechę logarytmu (dziesiętnego) liczby można odczytać z jej zapisu dziesiętnego:

Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej, np. cecha logarytmu liczby 34 456,92 wynosi 4, c.l. 234 = 2.
Cecha logarytmu liczby rzeczywistej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. Na przykład cecha logarytmu liczby 0,000 802 wynosi –4, c.l. 0,054 = –2, c.l. 0,24 = –1.

Jeżeli cecha logarytmu jest ujemna, to zapisujemy ją w specjalny sposób: bez znaku "–", lecz z nadkreśleniem u góry. Zatem cechę logarytmu liczby 0,000 802 zapiszemy jako $\overline{4}$ .

Przykłady

$\lg 0,000\ 001 = \overline 6,000\ 000$ ;
$\lg 0,000\ 01 = \overline 5,000\ 000$ ;
$\lg 0,000\ 1 = \overline 4,000\ 000$ ;
$\lg 0,001 = \overline 3,000\ 000$ ;
$\lg 0,01 = \overline 2,000\ 000$ ;
$\lg 0,1 = \overline 1,000\ 000$ ;
$\lg 1 = 0,000\ 000$ ;
$\lg 10 = 1,000\ 000$ ;
$\lg 100 = 2,000\ 000$ ;
$\lg 1\ 000 = 3,000\ 000$ ;
$\lg 10\ 000 = 4,000\ 000$ ;
$\lg 100\ 000 = 5,000\ 000$ ;
$\lg 1\ 000 000 = 6,000\ 000$ ;

Mantysa logarytmów liczb $1; 10; 100; 1000; \dots; 0,1; 0,01; 0,001; \dots$ wynosi $0$ , np.:

lg 10 000 = 4,000 00
lg 1 000 = 3,000 00
lg 100 = 2,000 00
lg 10 = 1,000 00
lg 1 = 0,000 00
lg 0,1 = $\overline{1}$ ,000 00
lg 0,01 = $\overline{2}$ ,000 00
lg 0,001 = $\overline{3}$ ,000 00

Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:

lg 4 028 000 = 6,605 09
lg 4 028 = 3,605 09
lg 40,28 = 1,605 09
lg 4,028 = 0,605 09
lg 0,4028 = $\overline{1}$ ,605 09
lg 0,040 28 = $\overline{2}$ ,605 09
lg 0,004 028 = $\overline{3}$ ,605 09

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

Kategoria: Arytmetyka

Tomasz Nałęcz wraca do polityki

Tomasz Nałęcz przyjął zaproszenie na inauguracyjne spotkanie koalicji SdPl - PD - Zieloni firmowanej przez Dariusza Rosatiego, Janusza Onyszkiewicza i Marka Borowskiego. - Zgodził się uczestniczyć w budowie nowej centrolewicy - twierdzą organizatorzy.

Rehabilitacja kokainisty przyszła i niepewna

Artur P., były doradca ds. sportu u prezydenta Lecha Kaczyńskiego podejrzany o handel kokainą, nie wróci na razie do pracy w kancelarii, o co walczył przed warszawskim sądem.

W bitwie o szkło lepszy Kamiński

Prezydencki minister Michał Kamiński wypchnął z telewizji Piotra Kownackiego. Według raportu Instytutu Monitorowania Mediów w grudniu Kamiński wypowiadał się w głównych telewizyjnych serwisach informacyjnych przeszło dwa razy częściej.

Sześciolatki w szkołach w 2012 r. To ich prawo, nie obowiązek

Platforma zgłosiła wczoraj przełomową poprawkę do rządowego projektu obniżenia wieku szkolnego. Chce zapisać, że do 2012 r. sześcioletnie dzieci będą „miały prawo”, a nie „obowiązek” pójść do pierwszej klasy.

Jak CBA odkryło Amerykę

CBA wykryło aferę korupcyjną w kopalni w Bogdance. Zrobiło to pięć lat po prokuraturze

Posłowie za rozszerzeniem uprawnień sejmowej "speckomisji"

Za umożliwieniem sejmowej "speckomisji" dostępu do dokumentów i materiałów uzyskanych przez służby specjalne opowiedzieli się podczas debaty w Sejmie nad projektem zmian w regulaminie izby, posłowie ze wszystkich klubów parlamentarnych.

Kolejny sklep internetowy oszukał klientów?

Warszawska policja wyjaśnia sprawę sklepu internetowego, który oferował telewizory tańsze o kilkadziesiąt procent niż u innych sprzedawców - poinformowała Anna Oleksiak ze stołecznej policji. Klienci, którzy wpłacili pieniądze nie mogli się dodzwonić do sklepu.

Sikorski: Polska jest gotowa odegrać rolę w rozwiązaniu gazowego kryzysu

Radosław Sikorski powiedział, że Polska jest gotowa wysłać obserwatorów, którzy monitorowaliby tranzyt gazu przez Ukrainę do Europy Zachodniej. Władimir Putin zadeklarował wcześniej, że Moskwa wznowi dostawę gazu przez Ukrainę, jeśli tranzyt nadzorować będą unijni obserwatorzy.

Rocco Buttiglione doradcą w Muzeum Jana Pawła II w świątyni Opatrzności Bożej

Rocco Buttiglione, były włoski minister ds. europejskich będzie doradcą w sprawie Muzeum Jana Pawła II i kard. Stefana Wyszyńskiego, które ma powstać przy Świątyni Opatrzności Bożej w Warszawie. Buttiglione zasłynął kontrowersyjnymi wypowiedziami na temat homoseksualizmu, które wywołały burzę we włoskim rządzie i w Parlamencie Europejskim.

Skąd teraz płynie gaz do Polski

Białoruś i Niemcy to w tej chwili jedyne dwa kierunki, z których do Polski płynie gaz. Rura z Ukrainy od dzisiaj jest pusta.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Podłoga i sufit

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Nazwy

[edytuj] Własności

[edytuj] Podłoga i sufit

[edytuj] Część ułamkowa

[edytuj] Cecha i mantysa logarytmu (dziesiętnego)

[edytuj] Zobacz też

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach