Analiza funkcjonalna

Z Wikipedii

Analiza funkcjonalna – dział analizy matematycznej zajmujący się głównie badaniem własności przestrzeni funkcyjnych. Rozwinął się w trakcie studiów nad odwzorowaniami zwanymi transformacjami lub operatorami (przede wszystkim nad transformacją Fouriera) oraz równaniami różniczkowymi i całkowymi.

Słowo funkcjonał pochodzi z rachunku wariacyjnego, gdzie oznacza funkcję, której argument jest funkcją (ale wartość jest liczbą). Prawdopodobnie, od słowa "funkcjonał" pochodzi nazwa "analiza funkcjonalna", chociaż w niej bada się także bardziej ogólne operatory, których zarówno argumenty jak i wartości są wektorami (to znaczy wartość może nie być liczbą). Uogólnieniem analizy funkcjonalnej jest teoria operatorów gdzie argumentami operatora mogą być dowolne obiekty matematyczne (to znaczy nie koniecznie wektory).

Upowszechnienie analizy funkcjonalnej zawdzięcza się matematykowi i fizykowi Vito Volterze, a stworzenie jej podstaw przypisuje się Stefanowi Banachowi, aczkolwiek część wyników uzyskał niezależnie na początku drugiej połowy XIX wieku węgierski matematyk József Szoboszló, jego prace zaginęły jednak podczas rewizji żandarmerii cesarskiej i odkryto je dopiero w latach 90. XX wieku.^{[potrzebne źródło]}

[edytuj] Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej

W ogólności analiza funkcjonalna zajmuje się również badaniem przestrzeni Frécheta i innych przestrzeni liniowo-topologicznych. Podstawowymi przestrzeniami badanymi w analizie funkcjonalnej są jednak unormowane zupełne przestrzenie liniowe nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Takie przestrzenie noszą nazwę przestrzeni Banacha.

Przykładami przestrzeni Banacha są przestrzenie Hilberta, w których norma pochodzi od iloczynu skalarnego. Przestrzenie Hilberta mają podstawowe znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.

Ważnym obiektem badań analizy funkcjonalnej są ciągłe przekształcenia (funkcjonały) liniowe na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Badania własności przestrzeni takich funkcjonałów doprowadziły do sformułowania pojęć C*-algebr i innych algebr operatorów.

Przestrzenie badane w analizie funkcjonalnej są w szczególności przestrzeniami liniowymi, więc w pewnym sensie przedmiot badań analizy funkcjonalnej jest zbliżony do przedmiotu badań algebry liniowej. Niemniej jednak badania w tych dwóch dziedzinach mają całkiem różny charakter, głównie dlatego, że algebra liniowa jest zainteresowana własnościami algebraicznymi badanych przestrzeni i często ogranicza się do przestrzeni skończeniewymiarowych. W analizie funkcjonalnej struktura algebraiczna (choć ważna) ma drugorzędne znaczenie a centralnymi obiektami są topologie, normy i iloczyny skalarne. Stąd też większość rozważanych przestrzeni jest nieskończeniewymiarowa a stosowane metody mają często topologiczny czy nawet teoriomnogościowy charakter.

[edytuj] Najważniejsze wyniki

Poniżej są wymienione główne i podstawowe wyniki z dziedziny analizy funkcjonalnej.

• Twierdzenie Banacha-Steinhausa (znane również jako zasada jednostajnej ograniczoności) dotyczy ograniczonych zbiorów operatorów.
• Twierdzenie spektralne podaje reprezentację operatorów samosprzężonych na przestrzeni Hilberta poprzez całki względem specjalnych miar spektralnych. Ma ono centralne znaczenie w matematycznym sformułowaniu mechaniki kwantowej.
• Twierdzenie Hahna-Banacha mówi o rozszerzaniu funkcjonałów z podprzestrzeni na całą przestrzeń, z zachowaniem normy. Jednym z wniosków jest nietrywialność przestrzeni dualnych.
• Twierdzenie Banacha o odwzorowaniu otwartym oraz twierdzenie o wykresie domkniętym.

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• operator liniowy
• operator nieliniowy
• widmo operatora

Senat przyjął bez poprawek ustawę o emeryturach pomostowych

Senat przyjął bez poprawek ustawę o emeryturach pomostowych, zmniejszającą liczbę uprawnionych do wcześniejszego przechodzenia na emeryturę z ok. miliona osób, które obecnie mają taką możliwość, do niecałych 250 tysięcy.

Przeniosą papieski krzyż poza Żwirowisko w Oświęcimiu?

Belgijski dziennik "La Libre Belgique" obwieścił w czwartek, że dzięki mediacji tamtejszych środowisk żydowskich, "wykluwa się kompromis w sprawie oddalenia" od byłego obozu Auschwitz papieskiego krzyża, który od 1988 roku stoi na Żwirowisku, tuż za murami byłego obozu Auschwitz.

Radiowóz potrącił pieszą na pasach

Policyjny radiowóz potrącił pieszą na skrzyżowaniu al. Niepodległości z ul. Źródlaną w Częstochowie.

Czynsz, rachunki, a teraz jeszcze... opłata za psa

100 złotych miesięcznie muszą płacić mieszkańcy jednej z wspólnot mieszkaniowych w Janowie Lubelskim. Pomysł przeszedł przez głosowanie, bo większość mieszkańców psów nie posiada - donosi TOK FM

Zmasowany atak wandali na miejskie tramwaje

W środku nocy kilkunastu wandali zamalowało sprejem dwa tramwaje. Zabierali się za trzeci, ale spłoszyli ich pracownicy Miejskiego Zakładu Komunikacji. Za dokonanie tak dużych zniszczeń grozi im kara więzienia

Zakończono sprawdzanie dworców w Katowicach. Alarm był fałszywy.

O godz. 19.40 katowicka policja zakończyła przeszukiwanie dworców PKP i PKS. Na żadnym z nich bomby nie znaleziono. Żartownisiowi, który postawił na nogi całą katowicką policję, grozi kara dwóch lat pozbawienia wolności.

Ojciec Rydzyk stanie przed komisją ds. nacisków?

Ojciec Tadeusz Rydzyk może zostać wezwany przed komisję śledczą do spraw nacisków - powiedział IAR członek komisji Sebastian Karpiniuk z PO. Zaznaczył jednak, że aby doszło do przesłuchania redemptorysty, musiałyby się potwierdzić zeznania Andrzeja Leppera.

Piotr Farfał z zarządu TVP zawieszony. Zemsta za Targalskiego?

Rada nadzorcza TVP zawiesiła członka zarządu spółki Piotra Farfała. To ciąg dalszy walki między dawnymi koalicjantami: PiS, LPR i Samoobroną po zawieszeniu Krzysztofa Czabańskiego i Jerzego Targalskiego w Polskim Radiu. Farfał, były członek Młodzieży Wszechpolskiej, był w zarządzie publicznej telewizji z ramienia ugrupowania Romana Giertycha

Tusk: Fedak to bardzo dobry minister; nie ma konfliktu PSL-PO

Premier Donald Tusk zapewnił, że bardzo wysoko ocenia pracę minister pracy Jolanty Fedak. - To bardzo dzielna kobieta, bardzo dobry minister, która pracuje w warunkach wyjątkowo trudnych - ocenił. Zapewnił też, że - jeśli chodzi o emerytury dla nauczycieli - nie ma sporu w koalicji.

Napieralski do rządu: Chcemy wam pomóc

Szef SLD Grzegorz Napieralski zadeklarował w czwartek w Sejmie, że klub Lewicy jest gotowy pomóc rządowi w pracach nad "dobrymi ustawami". Jednocześnie skrytykował gabinet Donalda Tuska za niedotrzymanie obietnic wyborczych.