Aksjomat

Z Wikipedii

Aksjomat (postulat, pewnik; gr. αξιωμα aksíoma – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej. We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:

Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.

Spis treści 1 Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu 2 Modelowanie 3 Prawdziwość 4 Niesprzeczność 5 Niezależność 6 Zupełność 7 Kategoryczność 8 Historia 9 Bibliografia 10 Przypisy 11 Zobacz też

[edytuj] Wyjaśnienie pojęcia aksjomatu

Matematyka jest zbiorem różnych teorii, takich jak geometria euklidesowa czy arytmetyka. Każda z nich operuje na specyficznym dla siebie zasobie pojęć. Matematycy mówią, że dana teoria jest wyrażona w języku opartym na określonym alfabecie.^[1]

Przykład: elementami alfabetu geometrii (termami geometrii) mogą być:

• symbol relacyjny Pu(x). Jeśli Pu(x) jest prawdą, będziemy mówili, że x to punkt,
• symbol relacyjny Pr(x). Jeśli Pr(x) jest prawdą, będziemy mówili, że x to prosta,
• symbol relacyjny L(l,P). Jeśli L(l,P) jest prawdą, będziemy mówili, że punkt P leży na prostej l.

We wcześniejszych ujęciach logiki matematycznej powiedzielibyśmy, że punkt, prosta i relacja "punkt leży na prostej" są pojęciami pierwotnymi geometrii. Obecnie takie sformułowanie spotyka się coraz rzadziej.

Elementów tego alfabetu nie definiuje się formalnie podczas konstrukcji danej teorii. W naszym przypadku potrzebujemy tylko wiedzieć, że dla dowolnego rozważanego obiektu każdy z symboli relacyjnych może być prawdą lub fałszem. Konkretny sens jest im nadawany dopiero w procesie tworzenia modelu teorii, o czym dalej.

Teoria w logice jest zbiorem twierdzeń opisujących pewne relacje między jej pojęciami. Formalnie są to formuły zdaniowe, zapisywane w języku danej teorii z użyciem symboli jej języka i dodatkowo symboli logicznych, takich jak np. kwantyfikatory.

Przykład: twierdzenie geometryczne „Przez dwa dowolne punkty można przeprowadzić prostą” można formalnie zapisać następująco:

czyli: jeśli A i B to punkty, to istnieje takie l, że l to prosta i A leży na l i B leży na l.

Niektóre z tych twierdzeń dają się wyprowadzić z innych twierdzeń danej teorii. Dowodząc jakieś twierdzenie, musimy oprzeć dowód na innych twierdzeniach, które z kolei także należałoby udowodnić itd. Jeśli więc jakikolwiek dowód ma mieć skończoną długość, potrzeba jakichś zdań, których prawdziwość przyjmowalibyśmy bez dowodu. Takie zdania nazywane są aksjomatami, ich zbiór aksjomatyką.

Dana teoria może być zaksjomatyzowana na wiele różnych sposobów, przykładem jest tu geometria euklidesowa, dla której oprócz aksjomatów Euklidesa istnieje też aksjomatyka Hilberta i von Neumanna. Te dwie ostatnie są sobie równoważne, to znaczy każdą można wyprowadzić z tej drugiej. Aksjomatyka Euklidesa jest uboższa od nich, właściwie nie opisuje pełnej teorii geometrii euklidesowej, a jedynie jej podzbiór. Przykładem twierdzenia geometrycznego nie dającego się wyprowadzić z aksjomatów Euklidesa jest twierdzenie Pappusa-Pascala.

Formalnie aksjomatem może być dowolna niesprzeczna wewnętrznie formuła zdaniowa wyrażona w języku danej teorii. Wszelkie stosowane w praktyce aksjomaty są jednak zdaniami zawsze prawdziwymi w obrębie danej teorii (tautologiami), są wzajemnie niesprzeczne i odpowiadają również węższym definicjom podanym w poprzednim akapicie i na początku artykułu. Zwykle aksjomatyka jest też kategoryczna. Powody ku temu zostaną wyjaśnione w dalszej części artykułu.

[edytuj] Modelowanie

Z teoriami matematycznymi związane są tzw. modele tych teorii. Stworzenie modelu oznacza określenie (zinterpretowanie) każdego z symboli języka danej teorii za pomocą symboli języka innej teorii.

Przykład: dla dwuwymiarowej geometrii euklidesowej typowym modelem jest przestrzeń kartezjańska oparta na aksjomatach arytmetyki, gdzie:

• punkt został zinterpretowany jako para uporządkowana liczb rzeczywistych (to znaczy formalnie Pu(x) uznajemy za prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy x jest parą takich liczb)
• prosta została zinterpretowana jako zbiór tych par (x,y), spełniających równanie (y_A − y_B)(x − x_B) − (x_A − x_B)(y − y_B) = 0
• relacja „punkt leży na prostej” jako relacja przynależności do zbioru.

Modelowanie nie jest definiowaniem pojęć pierwotnych. Dla tej samej teorii można stworzyć różne modele, więc gdyby tak było, jedno pojęcie musiałoby mieć wiele sprzecznych definicji. Na przykład można zinterpretować punkt również jako parę uporządkowaną liczb algebraicznych (a nie liczb rzeczywistych), a prostą jako zbiór par (x,y) liczb algebraicznych spełniających równanie (y_A − y_B)(x − x_B) − (x_A − x_B)(y − y_B) = 0.

[edytuj] Prawdziwość

Model danej teorii musi spełniać wszystkie jej aksjomaty (tym samym w semantycznym sensie podczas modelowania zakłada prawdziwość tych aksjomatów). Wówczas wszystkie udowodnione na ich bazie twierdzenia danej teorii stosują się także do tak "przetłumaczonych" pojęć. Model jest w pewnym sensie praktycznym zastosowaniem danej teorii matematycznej.

[edytuj] Niesprzeczność

Ponieważ od dowolnego modelu wymaga się, aby spełniał wszelkie aksjomaty danej teorii, więc teoria, której aksjomaty byłyby sprzeczne ze sobą nawzajem, nie miałaby żadnego modelu. Takich aksjomatyk zatem nie stosuje się.

[edytuj] Niezależność

Układ aksjomatów jest niezależny, jeśli żaden z aksjomatów nie wynika z pozostałych. Nie ma formalnego wymogu, aby aksjomaty były niezależne. Nie ma formalnego ograniczenia na ich liczbę. Niektórzy matematycy uważają jednak, że eleganckie jest sformułowanie danej teorii w postaci jak najmniejszej liczby prostych i niezależnych aksjomatów. Ułatwia to tworzenie modelu danej teorii i upraszcza dowodzenie ich niesprzeczności.

Jeśli A jest skończonym zbiorem aksjomatów, to istnieje podzbiór taki, że A' jest niezależny, a jednak ma tę samą siłę, co A, tzn. każdy aksjomat w zbiorze A można udowodnić na bazie aksjomatów w A'. Jeśli A jest nieskończony, to w ogólnym przypadku nie ma takiego podzbioru, w niektórych szczególnych przypadkach może jednak istnieć.

[edytuj] Zupełność

Często okazuje się, że aksjomatyka nie jest zupełna, to znaczy istnieją pewne twierdzenia, dające się wyrazić w języku dowolnego modelu danej aksjomatyki, których prawdziwości nie da się rozstrzygnąć na podstawie tego zestawu aksjomatów. Przykładowo geometria euklidesowa była pierwotnie zaksjomatyzowana przez Euklidesa, okazało się jednak, że jego aksjomatyka była zbyt uboga i nie pozwalała udowodnić pewnych prawdziwych twierdzeń geometrycznych (np. twierdzenia Desarguesa i twierdzenia Pappusa). Powstała kolejna aksjomatyka, tzw. aksjomatyka Hilberta.

Z powodów praktycznych aksjomatów powinno być na tyle dużo, aby prawdziwość wszelkich "ważnych" twierdzeń danej teorii dało się rozstrzygnąć na ich podstawie. Kryterium "ważności" jest tu subiektywne - teoria, w której żadne zdanie nie daje się rozstrzygnąć, jest formalnie poprawna, lecz bezużyteczna. Nie musi to oznaczać rozstrzygalności wszystkich możliwych twierdzeń danej teorii, choć byłby to stan idealny; Twierdzenie Gödla mówi jednak, że nawet dla tak prostej teorii jak arytmetyka istnieją twierdzenia, których nie da się wyprowadzić z jej aksjomatów. Co więcej - nie da się uzupełnić zbioru aksjomatów arytmetyki skończoną liczbą nowych aksjomatów, tak aby był już do tego wystarczający.

[edytuj] Kategoryczność

Aksjomatykę nazywamy kategoryczną, jeśli wszystkie jej modele są izomorficzne. Oznacza to, że dany zestaw aksjomatów jednoznacznie określa wszystkie cechy definiowanych obiektów. Jeśli aksjomatyka nie jest kategoryczna, można zbudować dwa różne modele, które będą ją spełniały, jednak będą się różnić właściwościami, dającymi się opisać w języku danej teorii.

[edytuj] Historia

Pierwszym uczonym postulującym stosowanie aksjomatycznej budowy teorii matematycznych był Platon. Pierwszą prawdziwą aksjomatyką było pięć aksjomatów Euklidesa podanych w Elementach.

Podwaliny teorii modeli i tym samym nowe ujęcie logiki matematycznej położyli w latach 30. XX wieku Alfred Tarski i Kurt Gödel.

[edytuj] Bibliografia

• Encyklopedia szkolna - matematyka. Warszawa: Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1990, ss. 7,71-72. 

Przypisy

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki
• aksjomat indukcji (w rzeczywistości jest to zbiór nieskończenie wielu aksjomatów arytmetyki, lub aksjomat metateorii arytmetyki)
• aksjomat wyboru
• aksjomat ciągłości
• aksjomaty teorii mnogości
• aksjomat Archimedesa
• aksjomatyka Hilberta
• aksjomat klasycznego rachunku predykatów
• a priori
• aksjomat polityczny

Senat przyjął bez poprawek ustawę o emeryturach pomostowych

Senat przyjął bez poprawek ustawę o emeryturach pomostowych, zmniejszającą liczbę uprawnionych do wcześniejszego przechodzenia na emeryturę z ok. miliona osób, które obecnie mają taką możliwość, do niecałych 250 tysięcy.

Przeniosą papieski krzyż poza Żwirowisko w Oświęcimiu?

Belgijski dziennik "La Libre Belgique" obwieścił w czwartek, że dzięki mediacji tamtejszych środowisk żydowskich, "wykluwa się kompromis w sprawie oddalenia" od byłego obozu Auschwitz papieskiego krzyża, który od 1988 roku stoi na Żwirowisku, tuż za murami byłego obozu Auschwitz.

Radiowóz potrącił pieszą na pasach

Policyjny radiowóz potrącił pieszą na skrzyżowaniu al. Niepodległości z ul. Źródlaną w Częstochowie.

Czynsz, rachunki, a teraz jeszcze... opłata za psa

100 złotych miesięcznie muszą płacić mieszkańcy jednej z wspólnot mieszkaniowych w Janowie Lubelskim. Pomysł przeszedł przez głosowanie, bo większość mieszkańców psów nie posiada - donosi TOK FM

Zmasowany atak wandali na miejskie tramwaje

W środku nocy kilkunastu wandali zamalowało sprejem dwa tramwaje. Zabierali się za trzeci, ale spłoszyli ich pracownicy Miejskiego Zakładu Komunikacji. Za dokonanie tak dużych zniszczeń grozi im kara więzienia

Zakończono sprawdzanie dworców w Katowicach. Alarm był fałszywy.

O godz. 19.40 katowicka policja zakończyła przeszukiwanie dworców PKP i PKS. Na żadnym z nich bomby nie znaleziono. Żartownisiowi, który postawił na nogi całą katowicką policję, grozi kara dwóch lat pozbawienia wolności.

Ojciec Rydzyk stanie przed komisją ds. nacisków?

Ojciec Tadeusz Rydzyk może zostać wezwany przed komisję śledczą do spraw nacisków - powiedział IAR członek komisji Sebastian Karpiniuk z PO. Zaznaczył jednak, że aby doszło do przesłuchania redemptorysty, musiałyby się potwierdzić zeznania Andrzeja Leppera.

Piotr Farfał z zarządu TVP zawieszony. Zemsta za Targalskiego?

Rada nadzorcza TVP zawiesiła członka zarządu spółki Piotra Farfała. To ciąg dalszy walki między dawnymi koalicjantami: PiS, LPR i Samoobroną po zawieszeniu Krzysztofa Czabańskiego i Jerzego Targalskiego w Polskim Radiu. Farfał, były członek Młodzieży Wszechpolskiej, był w zarządzie publicznej telewizji z ramienia ugrupowania Romana Giertycha

Tusk: Fedak to bardzo dobry minister; nie ma konfliktu PSL-PO

Premier Donald Tusk zapewnił, że bardzo wysoko ocenia pracę minister pracy Jolanty Fedak. - To bardzo dzielna kobieta, bardzo dobry minister, która pracuje w warunkach wyjątkowo trudnych - ocenił. Zapewnił też, że - jeśli chodzi o emerytury dla nauczycieli - nie ma sporu w koalicji.

Napieralski do rządu: Chcemy wam pomóc

Szef SLD Grzegorz Napieralski zadeklarował w czwartek w Sejmie, że klub Lewicy jest gotowy pomóc rządowi w pracach nad "dobrymi ustawami". Jednocześnie skrytykował gabinet Donalda Tuska za niedotrzymanie obietnic wyborczych.