Twoje źródło wiadomości i informacji!

Poznaj już dzisiaj odpowiedzi na wszystkie pytania!

Średnia ważona

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Średnia ważona niepustej listy danych

[x_1, x_2, ..., x_n]\,,

z odnoszącymi się do nich nieujemnymi wagami

[w_1, w_2, ..., w_n]\,,

z których co najmniej jedna jest dodatnia, jest określona przez:

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i},

co oznacza:

\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}.

W ten sposób dane którym przypisano większe wagi mają większy udział w określeniu średniej ważonej niż dane, którym przypisano mniejsze wagi.

Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej. Ogólnie, średnia ważona ma podobne własności do średniej arytmetycznej, jednakże ma ona kilka nieintuicyjnych cech (np. Paradoks Simpsona).

Spis treści

[edytuj] Przykład

Załóżmy, że są dwie klasy szkolne, jedna z 20 uczniami i druga z 30 uczniami. Wyniki testu w przeprowadzonego w każdej klasie były następujące:

klasa A = 62, 67, 71, 74, 76, 77, 78, 79, 79, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84, 86, 89, 93, 98
klasa B = 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 87, 88, 88, 89, 89, 89, 90, 90, 90, 90, 91, 91, 91, 92, 92, 93, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99

Średnia arytmetyczna ocen w klasie A wynosi 80, a w klasie B 90. Średnia arytmetyczna z liczb 80 i 90, jest równa 85, gdyby tę średnią przyjęto jako średnią uczniów obu klas, wynik byłby nieprawidłowy, gdyż nie uwzględniono liczebności klas. Aby ją uwzględnić, należy zsumować wszystkie oceny uczniów obu klas i podzielić przez łączną liczbę uczniów:

\bar{x} = \frac{4300}{50} = 86

Można obliczyć średnią ważoną dla obydwu klas traktując liczbę uczniów każdej klasy jako współczynniki wagowe:

\bar{x} = \frac{(20)\cdot 80 + (30)\cdot 90}{20 + 30} = 86

Jeśli nie ma danych indywidualnych ocen poszczególnych uczniów, a tylko średnie dla całych klas, można obliczyć średnią uczniów licząc średnią ważoną klas używając liczby uczniów w klasach jako wagi tych liczb.

Innym, praktycznym przykładem zastosowania średniej ważonej (w ekonomii) jest obliczenie tzw. WACC.

[edytuj] Średnie ważone geometryczna i harmoniczna

Można obliczać inne średnie ważone takie jak średnia ważona geometryczna i średnia ważona harmoniczna.

Średnia ważona geometryczna obliczana jest wg następującej formuły:

\bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{\sum_{i=1}^n w_i \ln x_i}{\sum_{i=1}^n w_i \quad} \right)

Kiedy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona geometryczna równa się średniej geometrycznej.

Średnia ważona harmoniczna obliczana jest jak niżej:

\bar{x} = \sum_{i=1}^n w_i \bigg/ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}

Gdy wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona harmoniczna równa się średniej harmonicznej.

Definicja średniej ważonej odgrywa ważną rolę w statystyce opisowej, oraz pojawia się w innych formach w innych obszarach matematyki.

[edytuj] Ważona średnia potęgowa

W ogólności można określić wariant ważony dla średniej potęgowej dowolnego rzędu rzeczywistego niezerowego q, zgodnie z wzorem:

\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}{\sum_{i=1}^nw_i}\right)^{1/q}

Dla rzędu 0 średnią potęgową ważoną jest opisana powyżej ważona średnia geometryczna, a dla rzędów +/-\infty wprowadzenie wag nie zmienia wartości średniej.

Można zauważyć, że dla rzędu -1 średnia jest średnią ważoną harmoniczną, a dla rzędu 2 - średnią ważoną kwadratową

[edytuj] Kombinacja wypukła

Średnia ważona może być wyrażona za pomocą współczynników (wag), których suma wynosi jeden. Taka kombinacja liniowa nazywana jest kombinacją wypukłą.

Używając poprzedniego przykładu, można obliczyć średnią ważoną z użyciem kombinacji wypukłej w następujący sposób:

\frac{20}{20 + 30} = 0,4\,
\frac{30}{20 + 30} = 0,6\,
\bar{x} = \frac{(0,4)\cdot 80\% + (0,6)\cdot 90\%}{0,4 + 0,6} = 86\%

a po uproszczeniu:

\bar{x} = (0,4)\cdot 80\% + (0,6)\cdot 90\% = 86\%

[edytuj] Średnia ważona z użyciem wariancji

Załóżmy, że mamy zbiór n\,\! liczb x_i\,\! wylosowanych z różnych rozkładów, o tej samej wartości średniej x\,\!, ale niekoniecznie tych samych wariancjach {\sigma_i}^2\,. Wówczas możemy skonstruować następujący estymator wartości x\,\! o najmniejszej wariancji:

\bar{x} = \frac{ \sum_{i=1}^n x_i/{\sigma_i}^2}{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2}.

W istocie jest to średnia ważona z wagami:

w_i = \frac{1}{\sigma_i^2}.

Możemy zaproponować dwa estymatory wariancji \bar{x}\,\!. Wariancję wewnętrzną:

\sigma_{int}^2 = \frac{ 1 }{\sum_{i=1}^n 1/{\sigma_i}^2},

oraz wariancję zewnętrzną:

\sigma_{ext}^2 = \frac{ \sigma_{int}^2 }{n-1}\sum_{i=1}^n\left(\frac{ x_i-\bar{x}}{\sigma_i}\right)^2.

Czym różnią się powyższe estymatory wariancji? W warunkach eksperymentalnych zazwyczaj nie dysponujemy wartościami wariancji {\sigma_i}^2\,, a jedynie ocenami tych wariancji - kwadratami niepewności doświadczalnych s_i^2\,\!. Po podstawieniu ich do powyższych wzorów może się okazać, że obliczona niepewność zewnętrzna i wewnętrzna różnią się! Praktyka nakazuje unikać zaniżania niepewności i w takiej sytuacji brać większą z obliczonych wartości. Warto jednak zwrócić uwagę na to, że kwadrat obliczonej w ten sposób niepewności nie jest już nieobciążonym estymatorem wariancji.

Jeżeli niepewność zewnętrzna jest znacząco mniejsza od wewnętrznej może to oznaczać, że użyte niepewności s_i\,\! są przeszacowane; jeśli niepewność zewnętrzna jest większa od wewnętrznej może to sugerować niedoszacowanie niepewności. Jeśli rzeczywiście nie mamy zaufania do wartości obliczonych niepewności, można je pomnożyć przez wartość \frac{s_{int}}{s_{ext}}, i obliczyć niepewność zewnętrzną i wewnętrzną jeszcze raz.

[edytuj] Zobacz też

Po co jest czesne w publicznym przedszkolu?

W całej Polsce w przedszkolach jest pobierana tzw. opłata stała. Rodzice zastanawiają się na co idą ich pieniądze i czy w ogóle muszą je płacić. Okazuje się, że przedszkolne czesne może być niezgodne z prawem.

Olszowiec złożył wniosek o zwolnienie ze służby

Szef ochrony prezydenta ppłk Krzysztof Olszowiec, zawieszony w związku z incydentem w Gruzji, złożył wniosek o zwolnienie ze służby - potwierdził rzecznik BOR Dariusz Aleksandrowicz. O tym, że Olszowiec chce odejść ze służby, napisała środowa "Gazeta Wyborcza".

Szef KRRiT: W sprawie TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny

Przewodniczący Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji uważa, że w sprawie sytuacji w TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny. Witold Kołodziejski poprosi prezydenta Lecha Kaczyńskiego, by skierował do Trybunału odpowiednie pytanie.

Pawlak: Potrzeba szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego

Wicepremier, minister gospodarki Waldemar Pawlak powiedział, że zarówno rząd, jak i prezydent widzą potrzebę szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego. Pawlak rozmawiał przez kilkadziesiąt minut z prezydentem Lechem Kaczyńskim o rosyjsko-ukraińskim konflikcie gazowym.

Przez kilka miesięcy do dyspozycji VIP-ów będzie tylko jeden Tu-154

Przez kilka najbliższych miesięcy do dyspozycji najwyższych osób w państwie będzie tylko jeden samolot specjalny Tu-154, drugi przejdzie w tym czasie remont.

SN oczyścił Jaskiernię z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego"

B. poseł SLD i b. minister sprawiedliwości Jerzy Jaskiernia został niejednogłośnie oczyszczony przez Sąd Najwyższy z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego". Uznając kasację Jaskierni, SN uchylił prawomocny wyrok o jego kłamstwie.

Zima zaatakowała na Pomorzu

Intensywne opady śniegu i bardzo silny porywisty wiatr spowodowały w środę ogromne utrudnienia w ruchu na większości dróg na Pomorzu. Po południu przez kilka godzin nieprzejezdna była trójmiejska obwodnica, bo pługi nie nadążały z odgarnianiem śniegu.

Rosja: Ławrow wyjaśnił Sikorskiemu sytuację z tranzytem gazu

O kryzysie gazowym telefonicznie rozmawiali szefowie MSZ Rosji i Polski: Siergiej Ławrow i Radosław Sikorski. MSZ Rosji podało, że Ławrow szczegółowo wyjaśnił polskiemu ministrowi sytuację z tranzytem gazu do europejskich odbiorców. Rozmowa, jak podano, odbyła się na prośbę strony polskiej.

Prezydent odznaczył pośmiertnie Macieja Kuronia

Prezydent Lech Kaczyński nadał pośmiertnie Maciejowi Kuroniowi Krzyż Oficerski Orderu Odrodzenia Polski - poinformowała prezydencka kancelaria w czwartek na swojej stronie internetowej.

Prezydent udaje się z roboczą wizytą do Pragi

Prezydent Lech Kaczyński udaje się w czwartek po południu z kilkugodzinną wizytą do Pragi. Spotka się tam z prezydentem Czech Vaclavem Klausem. Planowana jest też rozmowa L.Kaczynskiego z premierem Mirkiem Topolankiem.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.
Po co jest czesne w publicznym przedszkolu?

W całej Polsce w przedszkolach jest pobierana tzw. opłata stała. Rodzice zastanawiają się na co idą ich pieniądze i czy w ogóle muszą je płacić. Okazuje się, że przedszkolne czesne może być niezgodne z prawem.

Olszowiec złożył wniosek o zwolnienie ze służby

Szef ochrony prezydenta ppłk Krzysztof Olszowiec, zawieszony w związku z incydentem w Gruzji, złożył wniosek o zwolnienie ze służby - potwierdził rzecznik BOR Dariusz Aleksandrowicz. O tym, że Olszowiec chce odejść ze służby, napisała środowa "Gazeta Wyborcza".

Szef KRRiT: W sprawie TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny

Przewodniczący Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji uważa, że w sprawie sytuacji w TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny. Witold Kołodziejski poprosi prezydenta Lecha Kaczyńskiego, by skierował do Trybunału odpowiednie pytanie.

Pawlak: Potrzeba szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego

Wicepremier, minister gospodarki Waldemar Pawlak powiedział, że zarówno rząd, jak i prezydent widzą potrzebę szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego. Pawlak rozmawiał przez kilkadziesiąt minut z prezydentem Lechem Kaczyńskim o rosyjsko-ukraińskim konflikcie gazowym.

Przez kilka miesięcy do dyspozycji VIP-ów będzie tylko jeden Tu-154

Przez kilka najbliższych miesięcy do dyspozycji najwyższych osób w państwie będzie tylko jeden samolot specjalny Tu-154, drugi przejdzie w tym czasie remont.

SN oczyścił Jaskiernię z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego"

B. poseł SLD i b. minister sprawiedliwości Jerzy Jaskiernia został niejednogłośnie oczyszczony przez Sąd Najwyższy z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego". Uznając kasację Jaskierni, SN uchylił prawomocny wyrok o jego kłamstwie.

Zima zaatakowała na Pomorzu

Intensywne opady śniegu i bardzo silny porywisty wiatr spowodowały w środę ogromne utrudnienia w ruchu na większości dróg na Pomorzu. Po południu przez kilka godzin nieprzejezdna była trójmiejska obwodnica, bo pługi nie nadążały z odgarnianiem śniegu.

Rosja: Ławrow wyjaśnił Sikorskiemu sytuację z tranzytem gazu

O kryzysie gazowym telefonicznie rozmawiali szefowie MSZ Rosji i Polski: Siergiej Ławrow i Radosław Sikorski. MSZ Rosji podało, że Ławrow szczegółowo wyjaśnił polskiemu ministrowi sytuację z tranzytem gazu do europejskich odbiorców. Rozmowa, jak podano, odbyła się na prośbę strony polskiej.

Prezydent odznaczył pośmiertnie Macieja Kuronia

Prezydent Lech Kaczyński nadał pośmiertnie Maciejowi Kuroniowi Krzyż Oficerski Orderu Odrodzenia Polski - poinformowała prezydencka kancelaria w czwartek na swojej stronie internetowej.

Prezydent udaje się z roboczą wizytą do Pragi

Prezydent Lech Kaczyński udaje się w czwartek po południu z kilkugodzinną wizytą do Pragi. Spotka się tam z prezydentem Czech Vaclavem Klausem. Planowana jest też rozmowa L.Kaczynskiego z premierem Mirkiem Topolankiem.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Czujesz że przedstawione tutaj informacje były przydatne?

Prześlij link do serwisu www.thepostcardproject.com Twoim dobrym znajomym i przyjaciołom - na pewno nie pożałują!