Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Średnią arytmetyczno-geometryczną dwóch liczb rzeczywistych dodatnich a i b, oznaczaną często w nomenklaturze anglojęzycznej przez AGM(a,b) lub M(a,b), nazywamy wspólną granicę następujących ciągów określonych rekurencyjnie:

$a_{n+1}=\frac{a_n + b_n}{2},$ $b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}},$

gdzie a₀ = a oraz b₀ = b, przy czym średnią tę można rozszerzyć dla liczb zespolonych. Granica ta istnieje dla dowolnych a, b rzeczywistych dodatnich, ponieważ

$b_{n}\le b_{n+1}\le a_{n+1} \le a_{n},$

co wynika z nierówności Cauchy'ego, i równocześnie kolejne różnice pomiędzy odpowiednimi wyrazami ciągów (a_n) i (b_n) dążą do zera:

$\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n) = 0.$

Z samej konstrukcji mamy, że

$\sqrt{ab}\le M(a,b) \le \frac{a+b}{2}.$

Badania nad nią zapoczątkowane zostały jeszcze przez Gaussa, który w początkowym okresie swojej twórczości naukowej poświęcił jej dużo miejsca. W jego dzienniku z 30 maja 1799 roku czytamy nawet, że badania nad nią „stworzyły nowe pola rozwoju analizy”. Wkrótce odkrył on zaskakującą równość:

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\alpha}{\sqrt{a^{2}\cos^{2}\alpha +b^{2}\sin^{2}\alpha}}=\frac{\pi}{2M(a,b)},$

z której wynika, że długość ćwiartki lemniskaty Bernoulliego wyraża się zależnością

$\int\limits_{0}^{1}\frac{dt}{\sqrt{1-t^4}}=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{2})}.$

Wielkość $M(1,\sqrt{2})$ nazywa się stałą Gaussa i wynosi w przybliżeniu

$1,1981402347355922074399\ldots$

Czasami stałą Gaussa nazywa się odwrotność powyższej liczby.

Średnia arytmetyczno-geometryczna ma wiele ciekawych własności m.in.

$M(\lambda a,\lambda b)=\lambda M(a,b),\mbox{dla }\lambda \ge 0,$ $M(a,b)=M(\frac{a + b}{2},\sqrt{a b}),$

czyli w szczególności dla 0<x<1

$M(1-x,1+x)=M(1,\sqrt{1-x^2}).$

Obecnie średnią arytmetyczno-geometryczną Gaussa wykorzystuje się w przeróżnych algorytmach służących do obliczania liczby π, z których najważniejszym wydaje się być odnaleziony w 1976 przez E. Salamina i R. Brenta

$\pi=\frac{4[M(1,2^{-1/2})]^2}{1-\sum^{\infty}_{j=1}2^{j+1}c^{2}_{j}},$

gdzie

$c_n = \frac{1}{2}(a_n - b_n)$

oraz a₀ = 1 i b₀ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ,a a_n i b_n dla n>0 otrzymujemy z wzorów powyżej.

[edytuj] Bibliografia

L. Berggren, J. Borwein, P. Borwein, Pi: A Source Book, Springer-Verlag, 2000, ISBN 0-387-98946-3

[edytuj] Link zewnętrzny

MathWorld

p • d • e Średnie

Średnie	Średnia arytmetyczna • Średnia geometryczna • Średnia harmoniczna • Średnia kwadratowa • Średnia potęgowa • Średnia logarytmiczna • Średnia arytmetyczno-geometryczna • Minimum • Maksimum • Mediana • Dominanta (moda) • Średnia Chisinego • Średnia ucinana • Średnia ważona • Średnia winsorowska

Zastosowanie średnich	Środek masy • Środek ciężkości

Kategoria: Średnie

Po co jest czesne w publicznym przedszkolu?

W całej Polsce w przedszkolach jest pobierana tzw. opłata stała. Rodzice zastanawiają się na co idą ich pieniądze i czy w ogóle muszą je płacić. Okazuje się, że przedszkolne czesne może być niezgodne z prawem.

Olszowiec złożył wniosek o zwolnienie ze służby

Szef ochrony prezydenta ppłk Krzysztof Olszowiec, zawieszony w związku z incydentem w Gruzji, złożył wniosek o zwolnienie ze służby - potwierdził rzecznik BOR Dariusz Aleksandrowicz. O tym, że Olszowiec chce odejść ze służby, napisała środowa "Gazeta Wyborcza".

Szef KRRiT: W sprawie TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny

Przewodniczący Krajowej Rady Radiofonii i Telewizji uważa, że w sprawie sytuacji w TVP powinien wypowiedzieć się Trybunał Konstytucyjny. Witold Kołodziejski poprosi prezydenta Lecha Kaczyńskiego, by skierował do Trybunału odpowiednie pytanie.

Pawlak: Potrzeba szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego

Wicepremier, minister gospodarki Waldemar Pawlak powiedział, że zarówno rząd, jak i prezydent widzą potrzebę szybkiego rozwiązania konfliktu gazowego. Pawlak rozmawiał przez kilkadziesiąt minut z prezydentem Lechem Kaczyńskim o rosyjsko-ukraińskim konflikcie gazowym.

Przez kilka miesięcy do dyspozycji VIP-ów będzie tylko jeden Tu-154

Przez kilka najbliższych miesięcy do dyspozycji najwyższych osób w państwie będzie tylko jeden samolot specjalny Tu-154, drugi przejdzie w tym czasie remont.

SN oczyścił Jaskiernię z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego"

B. poseł SLD i b. minister sprawiedliwości Jerzy Jaskiernia został niejednogłośnie oczyszczony przez Sąd Najwyższy z zarzutu "kłamstwa lustracyjnego". Uznając kasację Jaskierni, SN uchylił prawomocny wyrok o jego kłamstwie.

Zima zaatakowała na Pomorzu

Intensywne opady śniegu i bardzo silny porywisty wiatr spowodowały w środę ogromne utrudnienia w ruchu na większości dróg na Pomorzu. Po południu przez kilka godzin nieprzejezdna była trójmiejska obwodnica, bo pługi nie nadążały z odgarnianiem śniegu.

Rosja: Ławrow wyjaśnił Sikorskiemu sytuację z tranzytem gazu

O kryzysie gazowym telefonicznie rozmawiali szefowie MSZ Rosji i Polski: Siergiej Ławrow i Radosław Sikorski. MSZ Rosji podało, że Ławrow szczegółowo wyjaśnił polskiemu ministrowi sytuację z tranzytem gazu do europejskich odbiorców. Rozmowa, jak podano, odbyła się na prośbę strony polskiej.

Prezydent odznaczył pośmiertnie Macieja Kuronia

Prezydent Lech Kaczyński nadał pośmiertnie Maciejowi Kuroniowi Krzyż Oficerski Orderu Odrodzenia Polski - poinformowała prezydencka kancelaria w czwartek na swojej stronie internetowej.

Prezydent udaje się z roboczą wizytą do Pragi

Prezydent Lech Kaczyński udaje się w czwartek po południu z kilkugodzinną wizytą do Pragi. Spotka się tam z prezydentem Czech Vaclavem Klausem. Planowana jest też rozmowa L.Kaczynskiego z premierem Mirkiem Topolankiem.

Polecamy także inne, zaprzyjaźnione nam serwisy internetowe, pierwszy z nich prezentuje wysokiej jakości projekty domów , natomiast drugi to opiniotwórczy serwis który recenzuje okna PCV.

Średnia arytmetyczno-geometryczna

Z Wikipedii

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Link zewnętrzny

osobiste

Szukaj

nawigacja

zmiany

dla edytorów

narzędzia

W innych językach